为什么e^(x^2)的不定积分不可用初等函数来表示？

Question

如题所述

Answer 1

e^(x^2)的不定积分不可用初等函数来表示，可以先级数展开，再逐项积分

e^x=1+Σ(n:1→∞)x^n/n!

e^(x^2)=1+Σ(n:1→∞)(x^2)^n/n!=1+Σ(n:1→∞)x^(2n)/n!

∫e^(x^2)dx=Σ(n:0→∞)x^(2n+1)/[(2n+1)n!]+C

不可积函数

虽然很多函数都可通过如上的各种手段计算其不定积分，但这并不意味着所有的函数的原函数都可以表示成初等函数的有限次复合。

原函数不可以表示成初等函数的有限次复合的函数称为不可积函数。利用微分代数中的微分Galois理论可以证明，如 ，xx ，sinx/x这样的函数是不可积的。

Answer 2

为什么e^(x^2)的不定积分不可用初等函数来表示？
由于无穷级数的性质，可以通过初等函数来表示e^(x^2)的不定积分，但该函数不会收敛到某一特定值，因此不能用初等函数来表示。