矩阵A的秩等于什么?

Question

如题所述

Answer 1

等于A的行列式的n-2次方再乘以A，可以有概念推导出来。

AA* = |A|E。

|A*| = |A|^(n-1)。

当 r(A) = n 时, r(A*) = n。

当 r(A) = n-1 时, r(A*) = 1。

当 r(A) < n-1 时, r(A*) = 0。

当A的秩为n时，A可逆，A*也可逆，故A*的秩为n；当A的秩为n-1时，根据秩的定义可知，A存在不为0的n-1阶余子式，故A*不等于0，又根据上述公式AA*=0而A的秩小于n-1可知A的任意n-1阶余子式都是0，A*的所有元素都是0，是0矩阵，秩也就是0。

相关内容：

①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。

②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。

③若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列)，一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。