已知函数f(x)=x平方-2x+2,x∈【a,b】，（a≥1），如果它的反函数的定义域也是【a，b】，求b的a次方

Question

如题所述

Answer 1

f(x)=x²-2x+2
=(x-1)²+1，x∈[a，b]，其中a≥1，b＞a。
根据函数的解析式，
函数f(x)在x≥1时是单调递增的，
而函数的反函数的定义域即函数的值域，
所以
f(a)=a，f(b)=b
则a、b应为方程x=f(x)的两个实数根，
解x=f(x)=x²-2x+2得
x=1或x=2
可见
a=1，b=2。
所以
b^a=2追问

我们老师还有其他的情况，我也算了这种，但是还有其他什么情况我没有想出来。。。

追答

这样啊？倒没认真考虑过。
在第一个“所以”后面改为如下吧：

①f(a)=a，f(b)=b
则a、b应为方程x=f(x)的两个实数根，
解x=f(x)=x²-2x+2得
x=1或x=2
可见
a=1，b=2。
所以
b^a=2
②f(a)=b，f(a)=b
则a、b应满足方程组
a=b²-2b+2
b=a²-2a+2
相减整理得
(a-b)(a+b-1)=0
解得
a=b，或a+b=1
但上述两种情况均不满足a≥1且b＞a的条件，
舍去，无解。

但是，如果从几何意义上理解的话，
上面的解②是不存在的。
像这种原函数和反函数的定义域相同的某段抛物线，
应该是函数图象和直线y=x的两个交点之间的那段曲线才能满足条件的，
除此之外，真的想不到其他情况了。
如果阁下解决了，麻烦知会一声，谢谢。
呵呵~~