证明：
令滑动变阻器接入电路电阻的功率Px为因变量，滑动变阻器接入电路电阻Rx为自变量，则
串联电路的总电阻：R总=R1+R2
滑动变阻器接入电路电阻的两端电压为：U2=R2U/(R2+R1)
滑动变阻器接入电路电阻的功率：P2=U2²/R2=[R2²U²/(R2+R1)²] × (1/R2)
即：P2=[R2/(R2+R1)²] U²=[1/(R2+2R1+R²1/R2)] U² .......................(1)
令Y=R2+2R1+R1²/R2，设R2=x，R1=a，则原式可变为：
y=x+2a+a²/x
=2a+(√x)²+(a/√x)²-2(√x)(a/√x)+2(√x)(a/√x)
=2a+[√x-(a/√x)]²+2(√x)(a/√x)
=4a+[√x-(a/√x)]²
当√x-(a/√x)=0时，上式取得最小值，即当x=a时，y取得最小值，其最小值为4a。
根据上面所设的关系，即当R2=R1时，Y取得最小值，即最小值Y=4R1
而当Y取得最小值时，1/(R2+2R1+R1/R2) 即可取得最大值，则分析上面（1）式可知，此时P2取得最大值，P2的最大值为：P2=U²/4R1
综上所述，当R2=R1时，即滑动变阻器与定值电阻平分电压时，滑动变阻器消耗功率的功率为最大值，其最大值为U²/4R1。
希望帮助到你，若有疑问，可以追问~~~
祝你学习进步，更上一层楼！(*^__^*)
追问有简单的方法么，还有滑动变阻器接入电路电阻的功率：P2=U2²/R2=[R2²U²/(R2+R1)²] × (1/R2)
怎么来的？
追答就是用这样的方法了。记得去年中考前，老师说：最简单的求极值的方法一步，可用求导数的方法。但似乎要到大学才学习的。
追问能用一元二方程的最值做么
追答y=x+2a+a²/x
=2a+(√x)²+(a/√x)²-2(√x)(a/√x)+2(√x)(a/√x)
=2a+[√x-(a/√x)]²+2(√x)(a/√x)
=4a+[√x-(a/√x)]²
以上这个就是采用二次函数求极值的，运用了配方法。
注意：这一步，其实可以不用换元，只是为了观察起来方便才换元的。即令R1=a，R2=x。