第1个回答 2012-03-18
.过直角坐标平面xOy中的抛物线y^2=2px(p>0)的焦点F做一条倾斜角为45°的直线与抛物线相交于A,B两点。
(1)p表示A,B之间的距离;(这个不用回答,我做出来了)
(2)证明:∠AOB的大小是与p无关的定值,并求出这个值。(过程详细点,图在下面)
2.设F1,F2分别是椭圆C:x^2/4+y^2/3=1的左右焦点,P是椭圆C上的任意一点,过原点的直线L与椭圆相交于M,N两点,直线PM,PN的斜率都存在,,并计为Kpm,Kpn,试探究Kpm·Kpn的值是否与点P及直线L有关,并证明你的结论。
1、(2)设直线y=x-p/2,即x=y+p/2,
代入得y^2=2p(y+p/2),整理得y^2-2py-p^2=0
设交点A(x1,y1),B(x2,y2),故得
y1+y2=2p,y1y2=-p^2
y1^2=2px1,y2^2=2px2
x1x2=(y1^2/2p).(y2^2/2p)=(y1y2)^2/4p^2=p^2/4
|x2y1-x1y2|=|y1y2^2/2p-y2y1^2/2p|=|(y1y2)(y2-y1)/2p|
=|p(y1-y2)/2|=p√[(y1+y2)^2-4y1y2] /2
=p√8p^2 /2=p^2 .√2
|x1x2+y1y2|=|p^2/4+(-p^2)|=3p^2/4
kOA=y1/x1,kOB=y2/x2,
tan∠AOB=|(y1/x1-y2/x2)/(1+y1y2/x1x2)|
=|(x2y1-x1y2)/(x1x2+y1y2)|
=p^2 .√2/(3p^2/4)=4√2/3
故∠AOB与P无关。
2、设M(x1,y1),N(-x1,-y1),P(x,y)
Kpm=(y-y1)/(x-x1), Kpn=(y+y1)/(x+x1)
Kpm.Kpn=(y^2-y1^2)/(x^2-x1^2)
又x^2/4+y^2/3=1
x1^2/4+y1^2/3=1
相减,得,(x^2-X1^2)/4+( y^2-y1^2)/3=0
整理(y^2-y1^2)/(x^2-x1^2)=-3/4
所以Kpm.Kpn=(y^2-y1^2)/(x^2-x1^2)= -3/4
第2个回答 2012-03-19
设M(x1,y1),N(-x1,-y1),P(x,y)
Kpm=(y-y1)/(x-x1), Kpn=(y+y1)/(x+x1)
Kpm.Kpn=(y^2-y1^2)/(x^2-x1^2)
又x^2/4+y^2/3=1
x1^2/4+y1^2/3=1
相减,得,(x^2-X1^2)/4+( y^2-y1^2)/3=0
整理(y^2-y1^2)/(x^2-x1^2)=-3/4
所以Kpm.Kpn=(y^2-y1^2)/(x^2-x1^2)= -3/4