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大一数学分析,关于函数极限的证明
f在(a,正无穷)内可导,且x趋于正无穷时f'趋于A,证明x趋于正无穷时,f(x)/x趋于A
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推荐答案 2012-01-06
当A不是0时 因为且x趋于正无穷时f'趋于A,所以当x为正无穷时f(x)为无穷,所以f(x)/x为无穷比无
穷型,所以上下求导变成f',所以limf(x)/x=limf'=A
当A是0时 f(x)恒等于一个常数(设为C),那么原式就可以写成limC/x,当x趋向于无穷时,
limC/x就趋向于0,即趋向于A。
综上所说 结论就证出来啦
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其他回答
第1个回答 2012-01-06
根据洛必达法则, f(x)/x ,x趋于正无穷,上下各同时求导,f'(x)/1,x趋于正无穷,依题得,f'趋于A,x趋于正无穷,所以X趋于正无穷时,f(x)/x趋于A。 (如果你们的教材是华东师大版的数学分析的话,可以翻到上册书上128页看下定理6.7)本回答被提问者采纳
第2个回答 2012-01-06
柯西中值
(f(x)/x=(f(x)-f(∞))/(x-∞)=f'(ξ)/ξ'=f'(ξ)
对上式两端取lim(x→∞) 注意x→∞ 时ξ→∞
lim(x→∞)f(x)/x=lim(ξ→∞)f'(ξ)=A
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