线性代数，在线等过程

Question

如题所述

Answer 1

令k1a1+k2a2+...+k(n-1)a(n-1)+kb=0 (1)
因为bTan=1,所以anTb=1
又因为正交矩阵的列向量组必为正交向量组。
(1)式两边用an做内积，得
kanTb=0,故k=0
从而(1)变为k1a1+k2a2+...+k(n-1)a(n-1)=0
而正交向量组必为线性无关组
所以k1=k2=...=k(n-1)=0
故由（1）可知a1,a2,...,a(n-1),b线性无关，即矩阵B的列向量组线性无关。
所以B可逆。
b为n维向量，a1,a2,...,an线性无关，故b可由a1,a2,...,an线性表示
令b=x1a1+x2a2+...+xnan
则anTb=xnanTan=xn
所以xn=1
故b=x1a1+x2a2+...+an
于是
(a1,a2,...,a(n-1),b)=(a1,a2,...,a(n-1),an)C （2）
其中C=
1 0 ...0 x1
0 1 ...0 x2
...............
0 0...1 x(n-1)
0 0 ...0 1
（2）两边取行列式得
|B|=|A|*|C|=-1