2014年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项:
1.
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答第Ⅰ卷时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮搽干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效.
3.
回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,答在本试题上无效.
4. 考试结束,将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一.选择题:共12小题,每小题5分,共60分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合A={|},B={|-2≤<2=,则=
.[-2,-1]
.[-1,2) .[-1,1] .[1,2)
2.=
. . . .
3.设函数,的定义域都为R,且时奇函数,是偶函数,则下列结论正确的是
.是偶函数 .||是奇函数
.||是奇函数 .||是奇函数
4.已知是双曲线:的一个焦点,则点到的一条渐近线的距离为
. .3 . .
5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率
. . . .
6.如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角的始边为射线,终边为射线,过点作直线的垂线,垂足为,将点到直线的距离表示为的函数,则=在[0,]上的图像大致为
7.执行下图的程序框图,若输入的分别为1,2,3,则输出的=
. . . .
8.设,,且,则
. . . .
9.不等式组的解集记为.有下面四个命题:
:,:,
:,:.
其中真命题是
., ., ., .,
10.已知抛物线:的焦点为,准线为,是上一点,是直线与的一个焦点,若,则=
. . .3 .2
11.已知函数=,
若存在唯一的零点,且>0,则的取值范围为
.(2,+∞) .(-∞,-2) .(1,+∞) .(-∞,-1)
12.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的个条棱中,最长的棱的长度为
. . .6 .4
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必考题,每个考生都必须作答。第(22)题-第(24)题为选考题,考生根据要求作答。
二.填空题:本大题共四小题,每小题5分。
13.的展开式中的系数为
.(用数字填写答案)
14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,
甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;
乙说:我没去过C城市;
丙说:我们三人去过同一个城市.
由此可判断乙去过的城市为
.
15.已知A,B,C是圆O上的三点,若,则与的夹角为
.
16.已知分别为的三个内角的对边,=2,且,则面积的最大值为
.
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)已知数列{}的前项和为,=1,,,其中为常数.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)是否存在,使得{}为等差数列?并说明理由.
18.
(本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:
(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差(同一组数据用该区间的中点值作代表);本文来自有途高考网
http://gaokao.ccutu.com(Ⅱ)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值服从正态分布,其中近似为样本平均数,近似为样本方差.
(i)利用该正态分布,求;
(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记表示这100件产品中质量指标值为于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求.
附:≈12.2.
若~,则=0.6826,=0.9544.
19. (本小题满分12分)如图三棱锥中,侧面为菱形,.
(Ⅰ) 证明:;
(Ⅱ)若,,AB=Bc,求二面角的余弦值.
20. (本小题满分12分) 已知点(0,-2),椭圆:的离心率为,是椭圆的焦点,直线的斜率为,为坐标原点.
(Ⅰ)求的方程;有图高考网
(Ⅱ)设过点的直线与相交于两点,当的面积最大时,求的方程.
21. (本小题满分12分)设函数,曲线在点(1,处的切线为. (Ⅰ)求; (Ⅱ)证明:.
请考生从第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的
方框涂黑。
22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲
如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE
.(Ⅰ)证明:∠D=∠E;
(Ⅱ)设AD不是⊙O的直径,AD的中点为M,且MB=MC,证明:△ADE为等边三角形.
23. (本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
已知曲线:,直线:(为参数).
(Ⅰ)写出曲线的参数方程,直线的普通方程;
(Ⅱ)过曲线上任一点作与夹角为的直线,交于点,求的最大值与最小值.
24. (本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
若,且.
(Ⅰ) 求的最小值;
(Ⅱ)是否存在,使得?并说明理由.
2014年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题答案(B卷)
一选择题
A
2.D 3.C 4.A 5.D
6.C
7
.D 8. C 9. B 10.B
11.C 12.B
二填空题
13.-20
14.A 15.90度 16.
三解答题
17.解:
(I)由题设,=bSn-1,=bSn-1
两式相减的=b
由于,所以
()由题设,由(I)知
解得b=4
故,由此可得
{}是首项为1,公差为4的等差数列,
{}是首项为3,公差为4的等差数列,=4n-1
所以
因此存在b=4,使得数列为等差数列
(18)解
(I)收取产品的质量指标值的样本平均数a和样本方差b分别是
a=200
b=150
()由上诉可此,Z~N(200,165),从而
P(187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z200+12.2)=0.6826
一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826
依题意可知X~B(100,0.6826),所以EX=100
(19)解:
(I) 连结,交于点O,连结AO。因为侧面为菱形,所以,且O为及的中点。
又,所以平面ABO,由于AO平面ABO,故
又,故AC=,
……6分
(II)因为,且O为的中点,所以AO=CO。
又因为AB=BC,所以。
故,从而OA、OB、两两相互垂直。
以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间指教坐标系O-xyz.
因为,所以为等边三角角,又AB=BC,则A,B(1,0,0),,,,,
设式平面的法向量,则
即
所以,取n=(1,,)
设m是平面的法向量,则
同理可取m=(1,-,)
则cos=
所以,所求角A-A2B2-C1的余弦值为
(20)解:
(1)设F(C,0),由条件知,
又
故E的方程为
故设l:y=kx-2,P(x1,x2)
将y=kx-2代入+y2=1得
(1+4k2)x2-16kx+12=0
当>0,即>时,=
从而
|PQ|=||=
又点O到直线PQ的距离d=。所以的面积
………………..9分
设,则t﹥0,
因为t+≥4.当且仅当t=2,即k=时等号成立,且满足﹥0.
所以,△OPQ的面积最大时,l的方程为
………………….12分
(21)解:
(I)函数f(x)的定义域为,f’(x)=,
由题意可得f(1)=2
,f’(1)=e
故a=1,b=2………………5分
(II)由(I)知,f(x)=,从而f(x)>1等价于xlnx>.
设函数g(x)=xlnx,则g’(x)=1+lnx
所以当x(0, )
时,g’(x)<0;当x()时,g’(x)>0.
故g(x)在(0,)单调递减,在(,+)单调递增,从而g(x)在的最小值为g()=- ……………8分
设函数h(x)=
,则h’(x)= .
所以当时,h’(x)>0;当时,h’(x)<0.
故h(1)在(0,1)单调递增,在单调递减,从而h(x)在的最大值为h(1)=
综上,当x>0时,g(x)>h(x),即f(X)>1……………………….12分
(22)解:
(I)由题设知A,B,C,D四点共圆,所以D=CBE由已知得CBE=E,故D=E……5分
(II)设BC的中点为N,连结MN,则由MB=MC知MN⊥BC,故O在直线MN上。
又AD不是O的直径,M为AD的中点,故OM⊥AD,即MN⊥AD
所以AD//BC,故A=CBE
又CBE=E,故A=E。由(I)知,D=E,所以ADE为等边三角形。
(23)解:
(I)曲线C的参数方程为(为参数)
直线l的普通方程为2x+y-6=0
(II)曲线C上任意一点P(,)到l的距离为
则,其中为锐角,且tan=
当=-1时,取得最大值,最大值为
当=1时,取得最小值,最小值为
(24)解:
(I)由,得ab2,且当a=b=时等号成立
故
所以的最小值为
(II)由(I)知,2a+3b
由于>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6