高中数学高手请进，问一个关于映射、函数的定义域与值域的理论问题，在线等答案！望高手赐教！

Question

是这个问题引发了我的思考。
下列说法错误的是：
A函数值域中的每一个值有定义域中的一个值与它对应
B函数的定义域是无限集则值域也是无限集
C定义域与对应关系确定后，函数值也就确定了
D若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素
先说说我的想法。我个人认为，严格来说，这四个选项都有点问题。A显然是不对的， 因为函数存在多对一的情况，所以不对。B也是有问题的，比如说函数y=0x，这个函数x取值范围是无限的，可是值域是有限的，只有一个0，这个函数并不违反规定，可以视为y=f（x），这个f为乘0；或者，比如取整函数y=[x]，我令其定义域为(1,5),为无限集，可是值域只有{2,3,4}三个元素，也是有限集，所以B不对。C选项就涉及到定义的问题了，课本上说函数就是两个非空数集A、B之间的映射，可以一对一，也可以多对一，A中的每一个元素在B中有唯一与之对应的元素，而B中可以有剩余元素，即A中可以没有元素与B中的元素相对应。这样问题就来了，我们平时在求函数的值域时，都是根据其定义域求的，定义域和对应关系确定了，值域也就求出来了，但是如果按照值域这样的规定，那么就可以投机取巧了：只要题中问值域，我就可以答值域是R，因为若B为R，则A里面元素的所有像必然被包括在B里，而B中其余的元素我就说没有原像，这是合乎规定的。所以，问题就是纠结于，我们把A集合称为定义域，B集合称为值域，这两个集合到底是怎么产生的？是先有A和对应法则，然后算出来的B呢，还是A、B两个集合就是各自独立没有关系的？如果按照书中的规定，我更倾向于后者，就是两者没有关系，里面的元素是任意取的，是A、B两个集合恰好有一定的对应关系使两个集合联系起来了。可是如果这样，就无法避免值域的不可求性，可以钻空子了。严谨的数学是不允许有这样的空子的！而D选项如果按照规定，也无疑使错误的。关键就在于A和B究竟是什么关系。【关键就在于A和B是什么关系！！！！！！！！！！！！！！！！！！】这个问题困扰了我好久，我希望能得到高中老师或者大学教授的耐心回答，先行谢过大家了！请高手答疑解惑！！！！！！！！！！！！！！！！！！
辛苦大家了，我在一个朋友的提示下，在百度百科里面找到了一段这样的话：输入值的集合X被称为f的定义域；可能的输出值的集合Y被称为f的值域。函数的值域是指定义域中全部元素通过映射f得到的实际输出值的集合。注意，把对应域称作值域是不正确的，函数的值域是函数的对应域的子集。 这个样子呢，问题就解决了。我以前用过的教材是错误的，但愿现在改回来了，呵呵。
大家说的都是对的，谢谢大家的回答。我把分给第一个详细回答我这个问题且回答对了的人，大家没有意见吧？呵呵，谢谢大家的支持！谢谢大家！

Answer 1

你是把值域这个概念与映射中集合B等同起来了，
其实两者并不等；
比如说A={-1,0,1}，B={-1,0,1}，对应关系是f(x)=x²；
满足映射的定义：对于A中的每一个元素，都能在B中找到唯一的一个元素与之对应，
但我以A作为定义域，B并不是值域，值域应该是{0,1}；
选项A是正确的，如果值域中的一个元素，我们在定义域中找不到任何一个元素与之对应，那么
该元素就不属于值域了。
B是错的，你举的那个例子就可以作为一个反例，基本初等函数里的正弦余弦函数，
都是定义域为无限集，值域是有限集[-1,1]；
C是对的，还是和A一样的问题，你说“B中可以有剩余元素，即A中可以没有元素与B中的元素
想对应”，这没错，但在函数时，剩余的元素就不属于值域了。
还是那句话，集合B不等于值域。
D也是对的，因为一个x只能对应一个y，所以，定义域只有一个元素，那么值域肯定也只有一
个元素。
映射是这么说的，对于A中的每一个元素，在B中都能找到唯一的一个元素与之对应。
那么，当A中只有一个元素时，B中也要有唯一的一个元素与之对应，
这唯一的一个元素就是值域。

祝你开心！希望能帮到你。。。追问

注意[-1,1]是无限集。你们的意思我看明白了，我也想到了。只是我没有看到你们的根据哦！我要根据！

追答

不好意思，写错了，[-1,1]确实是无限集。。。

Answer 2

A是正确的，函数值域中的每一个值“有”定义域中的一个值与它对应
有 的意思是存在，存在懂吗，定义域中可以有一个，即一对一，也可以有多个，即多对一
而你一直说的“值域”，其实叫陪域
函数定义如下：
设X，Y是非空数集 ，f是对应法则，若对X中的每个x，按对应法则f，使Y中存在唯一的一个元素x与之对应 ，就称对应法则f是X上的一个函数，记作y=f（x），称X为函数f（x）的定义域，集合{y|y=f（x），x∈X}为其值域Rf（值域是Y的子集) ,x叫做自变量，y叫做因变量，习惯上也说y是x的函数。
注意，这里Y叫陪域，值域只是它的一个子集，
而值域呢值域是什么
“值域”是所有因变量取值的集合（即集合中每一个元素都是这个函数的取值），
注意“集合中每一个元素都是这个函数的取值”
懂了吗，别纠结了追问

受教了，呵呵，多谢！

追答

给你个建议，保持质疑态度，多方查证。
但不要太盛气凌人，呵呵，必要时候收敛一下。
有时候这样是因为问题憋了太久，那就早点说出来。
等憋出了情绪就不理智了，不利于解决问题
嘿，介意采纳我吗。
对了，我QQ815930469，不介意的话加个好友

追问

朋友，谢谢您的提醒，我加上那么多省略号：【关键就在于A和B是什么关系！！！！！！！！！！！！！！！！！！】只是引起大家的注意，让大家看到回答的重心在哪里，并非您说的盛气凌人。其实大家说的都是一个意思，我也想到了，只是苦于没有根据，没有根据我是不会轻易相信的：(请您说出根据，您的观点出自于哪里？)数学问题不比文科，不能含糊，所以希望您能谅解。如有冒犯之处还请海涵，在这里再次感谢您。括号里为我的引用。

Answer 3

你好，我就我学的知识给您作答一下，哪里有科学性错误请原谅。
我们首先明确一个问题：函数（function）表示“每个输入值”对应“唯一输出值”的一种对应关系。（请注意，是“只有一个输入值”与“一个输出值”！）函数f中对应输入值的输出值x的标准符号为f(x)。包含某个函数所有的输入值的集合被称作这个函数的定义域，包含所有的输出值的集合被称作值域。若先定义映射的概念，可以简单定义函数为，定义在非空数集之间的映射称为函数。（参考《百度文库》“函数”）
现在我们看看A答案，显然是正确的，若您说的x=y的平方是函数（不是y=x的平方），我要反驳：它不是函数，而是曲线！（严格意义上讲y=x的平方也是曲线），而您说y=x的平方有多对一的情况，就如x=1，-1时y都等于1，那么请问点（1,1）和点（-1,1）在笛卡尔坐标系中是否是一个点？显然，它们不同！这就像一片森林里都是叶子，但却都不一样！所以您在定义上出现了模糊。
对于B答案您的分析是正确的。
对于C，我们要明白一个问题：映射：设A和B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素a，在集合B中都存在唯一对应的一个元素b，那么，这样的对应叫做集合A到集合B的映射(Mapping)，记作f：A→B。 其中，b称为a在映射f下的象，记作：b=f(a); a称为b关于映射f的原象。集合A中多有元素的像的集合记作f(A)。（参考《百度文库》“函数”）
对于您说的B中有剩余的情况只有映射。就拿x=y的平方来说，它就是y关于x的映射而不是关于x的函数！！只要您的逆向思维好不难发现：在函数中，有一个y就只有一个x。有一个x就只能存在一个y，否则，它不是函数！（在非空数集，实数集上）。对于D，那不就是函数的定义？？？
我希望这能对你有所帮助！有错误请指出。邮箱：[email protected]
谢谢！！追问

多谢多谢！感觉得出来您肯定学过了高等数学，只是，在高中范围内，是可以一个y对应多个x的，仍然是函数，只是反过来不行，因为这使得函数出现了不确定性，就失去了函数的意义了。不知道您这样说：严格意义上讲y=x的平方也是曲线；我是否可以理解为您认为对称轴和y轴平行的二次函数也不算函数？这个好像和高中的课本说的不一样，您是用了高等数学里的知识吗？求解释 。

追答

对于函数有一点要进行补充：一个y可以对应多个x，但是一个x“只能”对应一个y。对于这一点在函数的范畴内是可行的。
也就是说，y=x的平方此类基本曲线（看做函数也行，看下文分析）中，有一个x，那么只能输出一个y（y相同与否是不影响函数的定义的），而对于y映射为x就“无任何”要求！
总而言之：在图像上，一条x=a与函数相交，交点“只为”（a，y）（注意，只有一个交点），那么它就一定是y关于x的函数。所以，y=x的平方是函数。只不过它是四大基本曲线（抛物线）中的一种，也同样归类为曲线罢了（您也可以认为它是曲线与函数的交集之一）。并且往后面学，您也会把它叫做曲线，而不再叫二次函数咯！
现在不妨拿起笔来做图像：位于笛卡尔坐标系上画一个圆，您画一条x=a与圆相交，会发现它有两个交点！那么您就可以大胆的说：它绝不是函数！您画一条二次函数，再画一条x=m时会发现：它有且只有一个交点，那么您也就可以大胆的说：它一定是函数。
现在是否还有些迷惑？如果有请提出。我会尽我所能的！
过年快乐！

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Answer 4

ACD对B错 你可以好好看看函数值域的定义
“课本上说函数就是两个非空数集A、B之间的映射，可以一对一，也可以多对一，A中的每一个元素在B中有唯一与之对应的元素，而B中可以有剩余元素，即A中可以没有元素与B中的元素相对应。”
但函数的值域C是B应当是B的子集，即集合A中所有元素在对应法则的作用下的象的集合。
所以值域C中的每一个元素都是有原象的，不会出现你说的值域可以无限扩大的情况。
例如f(x)=x^2,可以看成是R->R映射，但它的值域只能是[0,+无穷）

Answer 5

A说法是正确的，他只是说值域的数在定义域里有对应，并没有说唯一对应。B错误，原因你说了
C,D都是正确的。
函数可以多对一，但是不能一对多，函数值域不能有没有定义域对应的值