为什么滑动变阻与定值电阻平分电压时，滑动变阻器消耗功率的功率为最大值

Question

如题
为什么在串联电路中，电源电压一定，滑动变阻与定值电阻平分电压时（滑动变阻器电阻与定值电阻阻值相同时），滑动变阻器消耗功率的功率为最大值。
另求教滑动变阻器阻值改变对电路功率的影响（串、并）

Answer 1

解：令滑动变阻器接入电路电阻的功率Px为因变量，滑动变阻器接入电路电阻Rx为自变量，则
串联电路的总电阻：R总=R+Rx
滑动变阻器接入电路电阻的两端电压为：Ux=RxU/(Rx+R)
滑动变阻器接入电路电阻的功率：Px=Ux²/Rx=[Rx²U²/(Rx+R)²] × (1/Rx)
即：Px=[Rx/(Rx+R)²] U²==[1/(Rx+2R+R²/Rx)] U².................(1)
令Y=Rx+2R+R²/Rx，根据数学关系，当Rx=R时，Y取得最小值，即Ymin=4R
而当Y取得最小值时，1/(Rx+2R+R²/Rx)应取得最大值，则分析（1）可知
Px也应该最大值，Px的最大值为：Pxmax=U²/4R
综上所述，当Rx=R时，即滑动变阻器与定值电阻平分电压时，滑动变阻器消耗功率的功率为最大值，其最大值为U²/4R。

△ 在串联电路中，滑动变阻器接入电路电阻的增大时，电路的总电阻增大，则总功率减小；反之则增大；
△ 在并联电路中，滑动变阻器接入电路电阻的增大时，电路的总电阻增大，则电路总功率减小；反之，则增大。追问

可能是我理解力太差，怎么根据数学关系，当Rx=R时，Y取得最小值，即Ymin=4R

追答

Y=Rx+2R+R²/Rx求极值，可以根据形如“y=x+C²/x +2C”求极值。可以采用求导数的方法来求极值。
因为求导数的方法我还没有学过。但当时参加奥赛时，好像有种不求导数的方法。
但我是利用特殊值逼近法求的，即Rx=R/3、R/2、R、3R/2、2R时，从结果可以看出，当Rx=R时，Y取得最小值，即Ymin=4R

Answer 2

设电源电压是U（不变），定值电阻阻值是R0，变阻器电阻是R（可变），定值电阻与变阻器串联。
电路中的电流是　I＝U /（R＋R0）
变阻器消耗的功率是　P＝I^2*R＝[ U /（R＋R0）]^2*R
上式整理得　P＝U^2*R /（R^2＋2*R0*R＋R0^2）＝U^2 / [R＋(R0^2 / R)＋2*R0 ]
注意到，在上式的分母中，有一项　y＝R＋(R0^2 / R)　，其他为常量
在　y＝R＋(R0^2 / R)　中，R是正数，(R0^2 / R)也是正数，且　R与(R0^2 / R)的乘积是常量
可见，由数学知识，当　R＝(R0^2 / R) 时，y有极小值。
即　R＝R0　时，y有极小值，那么也就是P有极大值（此时R与R0各自的电压均等于电源电压的一半）。

不管变阻器与定值电阻是串联，还是并联，因电源电压不变，所以当变阻器电阻增大时，电路总电阻也增大，电路总功率就减小；当变阻器电阻减小时，电路总电阻也减小，电路总功率就增大。（因　P总＝U^2 / R总　）追问

可能是我理解力太差，请教一下，为什么由数学知识，当　R＝(R0^2 / R) 时，y有极小值。

追答

设有函数　f(X)＝a*X＋(b / X)　，其中 a、b均为正常数，X也是正的变量。

原函数 f ＝a*X＋(b / X)
＝a*X＋(b / X)－2*根号（ab）＋2*根号（ab）
＝[根号（a*X）－根号（b / X）]^2＋2*根号（ab）≥2*根号（ab）
当　根号（a*X）＝根号（b / X）　时，上式取等号。
显然，当　根号（a*X）＝根号（b / X）　时，函数 f 有极小值，极小值等于2*根号（ab）。
即一个函数等于两项正变量之和，且两项正变量的乘积等于常量，那么当这两项正变量相等时，函数有极小值。

Answer 3

在串联电路中，电源电压一定，滑动变阻与定值电阻平分电压时（滑动变阻器电阻与定值电阻阻值相同时），滑动变阻器消耗功率的功率为最大值。
因为在串联电路中，电流是处处相等的，滑动变阻器与定值电阻平分电压时，滑动变阻器分得总电压的一半，

Answer 4

滑动变阻器消耗的功率：
P=I^2*R1 (设R1为滑动变阻器的电阻）
=E^2*R1/(R1+R2)^2
=E^2/[(R1-R2)^2/R1+4R2]
由上式可知，当R1=R2时，功率P最大，最大值为P=E^2/(4R2) 或者P=E^2/(4R1)

Answer 5

P=I^2R
=(U/R+r)^2R
=U^2/(R+2r+r^2/R)
分母为R+2r+r^2/R>=2r+2r=4r
当且仅当R=r^2/R，也就是R=r时，此时分母最小，功率最大