∫（1/（ x^2+1）^2） dx的不定积分为

Question

如题所述

Answer 1

∫（1/（x^2+1）^2）dx的不定积分为1/2*x/(1+x^2)+1/2arctanx+C。

解：令x=tant，则t=arctanx，且x^2+1=(tant)^2+1=(sect)^2

∫（1/（x^2+1）^2）dx

=∫（1/(sect)^4）dtant

=∫（(sect)^2/(sect)^4）dt

=∫（1/(sect)^2）dt

=∫(cost)^2dt

=1/2∫(cos2t+1)dt

=1/2∫cos2tdt+1/2∫1dt

=1/4sin2t+1/2t+C

=1/2sintcost+1/2t+C

由于x=tant，则sinxcosx=x/(1+x^2)

则∫（1/（x^2+1）^2）dx=1/2sintcost+1/2t+C

=1/2*x/(1+x^2)+1/2arctanx+C

扩展资料：

换元积分法可分为第一类换元法与第二类换元法。

一、第一类换元法（即凑微分法）

通过凑微分，最后依托于某个积分公式。进而求得原不定积分。例如

 

。

二、注：第二类换元法的变换式必须可逆，并且在相应区间上是单调的。

第二类换元法经常用于消去被积函数中的根式。当被积函数是次数很高的二项式的时候，为了避免繁琐的展开式，有时也可以使用第二类换元法求解。常用的换元手段有两种：

1、 根式代换法，

2、 三角代换法。

在实际应用中，代换法最常见的是链式法则，而往往用此代替前面所说的换元。