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稳派教育新课改2011年5月高二年级摸底考试
数学（理科）试卷参考答案与评分细则
1．【答案】A
【解析】本题主要考查了复数的运算， ，所以 的实部与虚部之积等于
2．【答案】D
【解析】本题主要考查了命题的真假的判断。命题 是真命题 ，命题B中当 时， ，即命题 是假命题，故 是假命题， 是真命题，故 ， 都是假命题， 是真命题。
3．【答案】A
【解析】本题主要考查进位制。 ， ， ， ，故选A。
4．【答案】A
【解析】本题主要考查合情推理。由于 ， ， ，由此可归纳得到 ，故选A。
5．【答案】C
【解析】本题主要考查了两角和与差的三角函数公式的应用，方程根与系数的关系
∴tanπ4＝tan[(π4－α)＋α]＝－ba1－ca＝1，
∴－ba＝1－ca，∴－b＝a－c，∴c＝a＋b.
6．【答案】C
【解析】本题主要考查二项展开式。 ，故正整数 的最小值为7。故选C。
7．【答案】B
【解析】本题主要考查独立性检验的基本思想。由条件可知 ，可见 时， ，此时两个分类变量 和 没有任何关系。
8．【答案】B 【解析】本题主要考查抽样方法、概率的相关知识。由分层抽样可知应抽取红色球4个，蓝色球3个，白色球2个，黄色球1个，故概率为 。
9．【答案】D
【解析】本题主要考查直线与双曲线的相关知识。设点 则 ，由于 ， ，由于点P与点A都在双曲线上，故 ，且 ，两式相减得 ，双曲线的离心率为 。故选D。
10．【答案】C
【解析】本题考查了利用导数判断单调性的判断及应用单调性比较大小。
由 可知，当 时， ，函数 单调递增；当 时， ，函数 单调递减。故 且 ，即有 。又 为常数函数显然满足题意，此时 ，∴ 。
11．【答案】－1
【解析】：本题考查了两直线垂直的充要条件。由题知(a＋2)a＝－1⇒a2＋2a＋1＝(a＋1)2＝0，∴a＝－1.
12．【答案】
【解析】本题主要考查了几何概型。 ．
13．【答案】
【解析】本题主要考查了线性规划、圆的弧长公式等知识。如图，作出圆 与不等式组 所确定的平面区域，由条件可知 ，故 ，可知 ，所以弧长为 。
14．【答案】
【解析】本题考查了空间向量的运算及空间想象能力，
如图，当 时， 点在三棱柱ACD- A1C1D1
内部及边界上运行；当 时， 点在三棱柱
B1BC1- A1AD1内部及边界上运行。这两个三棱柱的公共部
分为四面体C1- A1AD1，易求得其体积为 。
15．【答案】1005
【解析】本题主要考查根据数列的通项、数列的求和等知识。数列为：1,1,-1,2,2,3,-2,4,3,5,-3,6 ，由此可知 ，故 ，故 =1005。
16．本题考查了平面向量三角的恒等变换及平面向量的基本运算。
解：（1） ，
当 时， ；
当 时， ． …………………………6分
（2） 对任意实数 、 成立，即
对任意实数 、 成立,即 对任意实数 、 成立，
所以 或 ，解得 或 ． …………………12分
17．本题主要考查了独立重复事件的概率，对立事件的概率及离散型随机变量的分布列和期望等知识。
解：（1）违法驾车发生的频率为 ，醉酒驾车占违法驾车的百分数为 。 ……2分
（2） 的所有可能取值为：0,1,2,3,4 …………………………3分
的分布列为
0 1 2 3 4
………………………………9分
（3）至少有一人发生交通事故的概率为
=0．983616 ………………………………12分
18．本题主要考查了程序框图，数列的通项的求法及数列的求和等知识。
解：由框图可知 …………………………2分
是等差数列，设公差为 ，则有
……………………4分
（1）由题意知 时， 时，
解得 ……………………8分
故 ……………………9分
（2）由（2）可得：
……………………12分
19．本题主要考查了三视图，棱锥的体积的求法，线线垂直的判定，二面角的求法等知识。
解：(Ⅰ) 由三视图可知，四棱锥 的底面是边长为1的正方形，
侧棱 底面 ，且 . ∴ ，
即四棱锥 的体积为 . ………………………………4分
(Ⅱ) 不论点 在何位置，都有 .
证明如下：连结 ，∵ 是正方形，∴ .
∵ 底面 ，且 平面 ，∴ .
又∵ ，∴ 平面 .
∵不论点 在何位置，都有 平面 ..
∴不论点 在何位置，都有 . ………………………………8分
(Ⅲ) 在平面 内过点 作 于 ，连结 .
∵ ， ， ，
∴Rt△ ≌Rt△ ，
从而△ ≌△ ，∴ .
∴ 为二面角 的平面角.
在Rt△ 中， ，
又 ，在△ 中，由余弦定理得
，
∴ ，即二面角 的大小为 . …………………12分
20．解：本题主要考查了利用导数求曲线的切线的斜率，直线与圆锥曲线的位置关系等知识。
（1） ……………………1分
设
则直线 的方程为
同理可得直线 的方程为 ……………………3分
……………………7分
（2）由
由题知 由
…………………10分
点P到直 的距离
即 △MNP的面积为定值2。 ……………………13分
21．本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，求函数的最值，及参数的范围的求法等知识。
解：①
…………2分
当 时， ，当 时，
∴ 在 上单调减，在 上单调增
∴
② …………5分
若 在 上单调增，则 在 上恒成立，
恒成立
令 ， ，则 ，
∴
若 在 上单调减， 在 上恒成立，
恒成立，而
综上， 的取值范围是： …………9分
③ 恒成立
…………10分
当 时，不等式显然成立
当 时，
在 时恒成立
令 ，即求 的最小值
设 ， ， ，
且A、B两点在 的图象上，又∵ ， ，故
∴ ，故 即实数 的取值范围为 ……………………14分
稳派教育新课改2011年5月高二年级摸底考试
数学（文科）试卷参考答案与评分细则
1．【答案】D
【解析】本题主要考查了复数的运算， 为纯虚数，则 。
2．【答案】D
【解析】本题主要考查了命题的真假的判断。命题 是真命题 ，命题B中当 时， ，即命题 是假命题，故 是假命题， 是真命题，故 ， 都是假命题， 是真命题。
3．【答案】A
【解析】本题主要考查进位制。 ， ， ， ，故选A。
4．【答案】A
【解析】本题主要考查合情推理。由于 ， ， ，由此可归纳得到 ，故选A。
5．【答案】C
【解析】本题考查了三角函数的诱导公式。
由诱导公式知f(2010)＝asinα＋bcosβ＝－1，
∴f(2011)＝asin(π＋α)＋bcos(π－β)＝－(asinα＋bcosβ)＝1.
6．【答案】A
【解析】本题主要考查等差数列、函数的单调性、奇偶性等相关知识。由于数列 是等差数列，故 ，所以 ，由于函数 是 上的单调增函数且为奇函数， ，又 ，故 ，所以 ，故 的值恒为正数。
7．【答案】 D
【解析】本题考查了空间直线与直线，直线与平面的的平行与垂直判定定理与性质。D中在直线a上任了取一点作直线b的平行线b’ ，此时b’与 a是两相交直线，可确定一个平面 ，易知b 。
8． 【答案】 D
【解析】本题考查了基本不等式及命题的判断。假设a＋1b，b＋1c，c＋1a都小于2.
则(a＋b＋c)＋1a＋1b＋1c<6 (1) ∵a＋1a≥2，b＋1b≥2，c＋1c≥2，
即(a＋b＋c)＋1a＋1b＋1c≥6，这与(1)式矛盾．∴三个数中至少有一个不小于2.。
9．【答案】A
【解析】本题考查了函数零点的判断方法及一元二次方程根与系数的关系．由于函数f(x)是
连续的，故只需两个极值异号即可．f′(x)＝3x2－3，令3x2－3＝0，则x＝±1，只需
f(－1)•f(1)<0，即(a＋2)(a－2)<0，故a∈(－2,2)．
10．【答案】B
【解析】本题考查了抛物线及圆的相关概念，及直线与圆的位置关系。
准线方程为y＝－12，设P(t，12t2)为圆心且t＜0，∴－t＝|12t2＋12|⇒t＝－1.
11．【答案】－1
【解析】：本题考查了两直线垂直的充要条件。由题知(a＋2)a＝－1⇒a2＋2a＋1＝(a＋1)2＝0，∴a＝－1.
12．【答案】－1
【解析】∵3－1＝13，30＝1，13＜0.618<1，∴k＝－1.
13．【答案】
【解析】本题主要考查了几何概型。 ．
14．【答案】
【解析】本题主要考查了线性规划、圆的弧长公式等知识。如图，作出圆 与不等式组 所确定的平面区域，由条件可知 ，故 ，可知 ，所以弧长为 。
15．【答案】①②④
【解析】
本题主要考查了立体几何中的线线，线面关系。如图，设N，E，F，G分别是AD，的中点，
设直线BE， 于P点，连接PM与直线BA交于Q，则过有且只有一条直线PQ与直线AB、B1C1都相交，故①正确； 即为过M点与直线AB、B1C1都垂直的直线，此直线也是唯一存在的，②也正确；过M点有无数个平面与直线AB、B1C1都相交，③不正确；与直线AB、B1C1都平行的平面只有平面MEFG，④正确。
16．本题考查了平面向量三角的恒等变换及平面向量的基本运算。
解：（1） ，
当 时， ；
当 时， ． …………………………6分
（2） 对任意实数 、 成立，即
对任意实数 、 成立,即 对任意实数 、 成立，
所以 或 ，解得 或 ． …………………12分
17．本题主要考查独立性检验的基本思想。
解：（Ⅰ） 如果随机抽查这个班的一名学生，抽到积极参加班级工作的学生的概率是 ，所以积极参加班级工作的学生有 人，以此可以算出学习积极性一般且积极参加班级工作的人数为6，不太主动参加班级工作的人数为26，学习积极性高但不太主动参加班级工作得人数为7，学习积极性高的人数为25，学习积极性一般的人数为25，得到表格如下：
积极参加班级工作 不太主动参加班级工作 合计
学习积极性高 18 7 25
学习积极性一般 6 19 25
合计 24 26 50
………………………6分
（Ⅱ） ＝50×(18×19－6×7)225×25×24×26＝15013≈11.5，
∵ >10.828，
∴ 有99.9%的把握认为学习积极性与对待班级工作的态度有关系．
即在犯错误概率不超过0.1%的情况下可判断学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关
……………………12分
18．本题主要考查了程序框图，数列的通项的求法及数列的求和等知识。
解：由框图可知 …………………………2分
是等差数列，设公差为 ，则有
……………………4分
（1）由题意知 时， 时，
解得 ……………………8分
故 ……………………9分
（2）由（2）可得：
……………………12分
19．本题主要考查了三视图，棱锥的体积的求法，线线垂直的判定，二面角的求法等知识。
解：(Ⅰ) 由三视图可知，四棱锥 的底面是边长为1的正方形，
侧棱 底面 ，且 . ∴ ，
即四棱锥 的体积为 . ………………………………4分
(Ⅱ) 不论点 在何位置，都有 .
证明如下：连结 ，∵ 是正方形，∴ .
∵ 底面 ，且 平面 ，∴ .
又∵ ，∴ 平面 .
∵不论点 在何位置，都有 平面 ..
∴不论点 在何位置，都有 . ………………………………8分
(Ⅲ) 在平面 内过点 作 于 ，连结 .
∵ ， ， ，
∴Rt△ ≌Rt△ ，
从而△ ≌△ ，∴ .
∴ 为二面角 的平面角.
在Rt△ 中， ，
又 ，在△ 中，由余弦定理得
，
∴ ，即二面角 的大小为 . …………………12分
20．本题考查了椭圆的基本概念及直线与椭圆的位置关系。
解：（1）设椭圆 的半长轴长、半短轴长、半焦距长分别为
由题设知： ，由 ，得 ，则 ，
∴椭圆 的方程为 ； ……………………………………4分
（2）过点 斜率为 的直线
即 ，与椭圆 方程联立消 得 ，
由 与椭圆 有两个不同交点知其 得 或 ，
∴ 的范围是 ；……………………………………….6分
设 ，则 是方程 的两根，
则 ，则 , ……………………8分
则 ，由题设知 ，
∴ ，若 ，则 ，
得 …………………………………11分
∴不存在满足题设条件的 . …………………13分
21．本题考查了导数的几何意义及运用导数求函数的单调区间与最值。
（1）由已知 ， ，
故曲线 在 处的切线的斜率为3。 ……………………4分
（2）
①当 时，由于 ，故 ，
∴ 的单调递增区间为 ； ……………………6分
②当 时，由 得 ，在区间 上 ，
在区间 上 ，
∴ 的单调区间递增区间为 ，
单调区间递减区间为 。 ……………………8分
（3）由已知，转化为 .， ∵
由(Ⅱ)知，当 时， 在 上单调递增，值域为 ，故不符合题意.
(或者举出反例：存在 ，故不符合题意.)
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 的极大值即为最大值， ，
所以 ，
解得 . ……………………………………14分
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