高中物理竞赛题

Question

如图所示。在倾角为Θ的光滑斜面A点处，以初速度V0与斜面成a角斜抛出一个小球。小球下落时将与斜面做弹性碰撞。若小球返回出发点A，则a、Θ满足的条件是（　）
A、sinacosΘ=k B、cosasinΘ=k C、cotacotΘ=K D、tanatanΘ=K
在线等，！！！大家都辛苦了，在这里首先感谢大家！！四楼的，麻烦把图给画一下，

Answer 1

选D

首先分析小球如何才能回到A点。因为是弹性碰撞，小球与斜面碰撞时不会有能量损失，只有当小球与斜面碰撞是成垂直碰撞时才会沿原轨迹返回到出发点A，以此为前提进行计算。

不妨假设小球抛物线轨迹为y=-kx^2，由于抛物线具有统一性（即所有抛物线形状都相同），甚至是假设y=-x^2,问题也不大，为不失一般性，还是假设y=-kx^2，假设小球与斜面碰撞坐标为（1，-k），由小球运动切线与斜面垂直可知，小球斜率为1/2k(因为此点抛物线切线斜率为-2k），可求得斜面轨迹为y=(1/2k)*x-1/2k-k，

然后联立抛物线方程和直线方程求解，得x1=1,x2=-(1+2k^2)/2k^2，x2正是我们要求的点，然后代回抛物线方程求得此点切线斜率为（1+2k^2)/k，此斜率为tan（Θ+a)的值，即tan（Θ+a)=（1+2k^2)/k。

看题中选项没有角度和的三角函数，而tanΘ=1/2k是已知了的，所以用tan（Θ+a)=（tana+tanΘ）/(1-tanatanΘ)，求得tana=（k+4k^3)/(1+4k^2)=k，然后，你就会发现tanatanΘ=1/2是常数啦

所以选D啦~~

我猛地发现貌似C也是对的哦~

你可以再算一算呵~

我要分啊我要分啊！！！ 

好吧，一楼更方便些，你把给他吧，我脑子抽了呵，当数学做了~~ 

楼主啊，我这个就是用数学抛物线分析的~你看一看啊~~ 

四楼把图片传上来了~就是一个简单的抛物线和直线相交的图，交点在抛物线顶点的话就是任意斜率都可以的，交点在抛物线左边不在我考虑的小球与斜面垂直碰撞的范围内~

Answer 2

C D 。
垂直斜面向上为x轴，沿斜面向上为y轴。则vx0=vcosa，vy0=sina，ax=-gsinΘ，ay=-gcosΘ
回到A，说明运动有对称性，也就是说质点沿斜面的分速度为零时（vx=0），质点应该在斜面上或距离斜面最远（y=0或y有最大值），
另质点速度从最低点到达最高点（相对斜面）用时为T，则T=vsina\gcosΘ，由对称性得质点从最高点到最低点用时也为T
过了若干个T后，质点的vx变为零，kT=vcosa\gsinΘ
两式相除得K=cotacotΘ。懂三角函数的话会发现者和D其实一样
、有不懂的追问我。。原创哦，打这么多字，累死我了，喝杯茶走~~追问

首先感谢大家。对于平抛和类抛运动来，它们的对称轴都是在竖直方向上的，一楼的再想一想，看看还有没有其它方法。

追答

还有种方法就是坐标系是以重力加速度为y轴，很麻烦的，上面是书上给的解发，是最简便的

追问

本题做法疑点有三：1、本题中做出的曲线是物体的运动轨迹吗？2、如果是的话，对同一个物体在相同的条件下，它的轨迹曲线有几条？3、本题中的抛物线的对称轴与斜面垂直吗？
这三个问题按顺序思考后，再一次最后的回答！问题该收场了！

追答

1...物体的运动可分解为x、y轴上的匀减速直线运动，先写出xy轴上位移对时间的函数，再联立消去时间，即可得到运动轨迹。、
按这个坐标系求出的轨迹方程不是抛物线，因为x、y方向上都有加速度。若以水平面为x轴建系，由于有反弹，所以得到的轨迹方程就是n多个不同的抛物线组合起来的曲线，而且都是比半个多比一个少，解起来很恐怖的。。
2...在经典力学里，物体受力确定，初状态确定，运动就是确定的，运动轨迹有唯一解，一条
3...不是。因为物体合加速度竖直向下，所以对称轴与水平面垂直。但我在1中说了，有很多个抛物线，且它们的对称轴都与水平面垂直，不是斜面

追问

好心人，您上面的三个问题回答的非常的棒。根据上面三个问题的回答再把原问题回答一下。（注意1：“但我在1中说了，有很多个抛物线，且它们的对称轴都与水平面垂直，不是斜面”也就说“另质点速度从最低点到达最高点（相对斜面）用时为T，则T=vsina\gcosΘ，由对称性得质点从最高点到最低点用时也为T”是错的？ 注意2： 根据“2“可以说明，对本题中的“从最低点到达最高点（相对斜面）用时为T”T是不一样的！）

追答

不是错的，是一样的。你对运动的独立性理解的不够。垂直斜面上只受重力的分力，加速度为gcosΘ，（注意、此时先别管沿斜面方向的加速度），初速度vsina，那么T就是vsina\gcosΘ，然后速度方向改变，再向上运动。这相当于一个物体反复做自由落体和竖直上抛，能量没有损失，速度最大值就不变，时间也就不变
在沿斜面方向就是简单的匀减速运动。总运动是这两个运动的合成，但这两个运动互不干涉。
y轴上具有周期性的运动不收x轴运动的影响

本回答被提问者采纳

Answer 3

选 CD 。建立直接坐标系，X轴沿斜面向上，y轴垂直斜面向上。将速度和重力沿X、y方向分解。x方向上，小球运动到A点的时间为t ，y方向上，小球上升后落回斜面（x轴）的时间也是为t 。根据这个列等式即可。（提示：x、y轴上都是初速度不为零的匀加速运动。）
这样，该懂了吧。。只有知道怎么建立坐标系就可以了，剩下的工作就简单了。

Answer 4

若能原路返回，则与斜面做弹性碰撞时，速度方向垂直于斜面向下
画速度矢量三角形
v=v0*( cos(Θ+a)) / (sinΘ)
矢量三角形面积s=0.5gt*v0cos(Θ+a)
又s=0.5v0 v sin(90+a)=0.5v0 v cos(a)
且gt=v0 sin(Θ+a)+v cosΘ
三角运算
可知选CD

Answer 5

如果K是整数，就选C，如果K是整数的倒数的话，就选D