三重积分∫∫∫zdv,积分区域由x^2 y^2 z^2≥z和x^2 y^2 z^2＜2z围成

Question

如题用球面积分我做出来的是∫(0-2π)dθ∫(0-2/π)dφ∫(cosφ-2cosφ)(ρ^3sinφcosφ)dρ请问哪里错了...为什么和直角坐标求出来的结果不一样...顺便求柱面坐标的方法

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

截面法：用竖坐标为z的平面截立体，得截面为dz：x²+y²≤2z-z²
∫∫∫z²dv
=∫[0→2]
(∫∫z²dxdy
)dz
里面的二重积分积分区域为dz：x²+y²≤2z-z²
=∫[0→2]
z²dz
∫∫1dxdy
被积函数为1，积分结果为区域面积，dz面积为：π(2z-z²)
=π∫[0→2]
z²(2z-z²)dz
=π∫[0→2]
(2z³-z⁴)dz
=π[(1/2)z⁴-(1/5)z⁵]
|[0→2]
=8π/5

Answer 3

你
球坐标
的式子没错啊，可能是
直角坐标
的式子列错了呢？？
球坐标：
小球体：r²
=
rcosφ
==>
r
=
cosφ
大球体：r²
=
2rcosφ
==>
r
=
2cosφ
∫∫∫Ω
z
dV
=
∫(0→2π)
dθ
∫(0→π/2)
sinφ
dφ
∫(0→2cosφ)
rcosφ
*
r²
dr
-
∫(0→2π)
dθ
∫(0→π/2)
sinφ
dφ
∫(0→cosφ)
rcosφ
*
r²
dr
=
4π/3
-
π/12
=
5π/4
柱坐标：
{
r²
+
z²
=
z
{
r²
+
z²
=
2z
{
r²
+
(z
-
1/2)²
=
1/4
{
r²
+
(z
-
1)²
=
1
∫∫∫Ω
z
dV
=
∫(0→2π)
dθ
∫(0→1)
r
dr
∫(1
-
√(1
-
r²)→1
+
√(1
-
r²))
z
dz
-
∫(0→2π)
dθ
∫(0→1/2)
r
dr
∫((1/2)(1
-
√(1
-
4r
²))→(1/2)(1
+
√(1
+
4r²)))
z
dz
=
4π/3
-
π/12
=
5π/4
直角坐标：
{
x²
+
y²
+
z²
=
z
==>
x²
+
y²
+
(z
-
1/2)²
=
(1/2)²
{
x²
+
y²
+
z²
=
2z
==>
x²
+
y²
+
(z
-
1)²
=
1
∫∫∫Ω
z
dV
=
∫(-
1→1)
dx
∫(-
√(1
-
x²)→√(1
-
x²)
dy
∫(1
-
√(1
-
x²
-
y²)→1
+
√(1
-
x²
-
y²))
z
dz
-
∫(-
1/2→1/2)
dx
∫(-
√(1/4
-
x²)→√(1/4
-
x²))
dy
∫(1/2
-
√(1/4
-
x²
-
y²)→1/2
+
√(1/4
-
x²
-
y²))
z
dz
=
4π/3
-
π/12
=
5π/4