数学严重偏科怎么办？

Question

语文还好，数学150分满分，连50分都难考上

Answer 1

　　给你几题：第一试
　　一．选择题(本题满分36分，每小题6分)
　　1．设锐角使关于x的方程x2+4xcos+cos=0有重根，则的弧度数为 ( )
　　A．6 B．12或512 C．6或512 D．12
　　2．已知M={(x，y)|x2+2y2=3}，N={(x，y)|y=mx+b}．若对于所有的m∈R，均有M∩N，则b的取值范围是 ( )
　　A．[－62，62] B．(－62，62) C．(－233，233] D．[－233，233]
　　3．不等式log2x－1+12log12 x3+2>0的解集为
　　A．[2，3) B．(2，3] C．[2，4) D．(2，4]
　　4．设点O在ABC的内部，且有→OA+2→OB+3→OC=→0，则ABC的面积与AOC的面积的比为( )
　　A．2 B．32 C．3 D．53
　　5．设三位数n=¯¯¯abc，若以a，b，c为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有( )
　　A．45个 B．81个 C．165个 D．216个
　　6．顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆圆心，AB⊥OB，垂足为B，OH⊥PB，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥O－HPC的体积最大时，OB的长为 ( )
　　A．53 B．253 C．63 D．263
　　二．填空题(本题满分54分，每小题9分)
　　7．在平面直角坐标系xOy中，函数f(x)=asinax+cosax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g(x)= a2+1的图像所围成的封闭图形的面积是 ；
　　8．设函数f：R→R，满足f(0)=1，且对任意x，y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)－f(y)－x+2，则f(x)= ；
　　9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BD1—A1的度数是 ；
　　10．设p是给定的奇质数，正整数k使得k2－pk也是一个正整数，则k= ；
　　11．已知数列a0，a1，a2，…，an，…满足关系式(3－an+1)(6+an)=18，且a0=3，则n∑i=01ai的值是 ；
　　12．在平面直角坐标系xOy中，给定两点M(－1，2)和N(1，4)，点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标为 ；
　　三．解答题(本题满分60分，每小题20分)
　　13．一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数的和大于2n，则算过关．问：
　　⑴ 某人在这项游戏中最多能过几关？
　　⑵ 他连过前三关的概率是多少？
　　14．在平面直角坐标系xOy中，给定三点A(0，43)，B(－1，0)，C(1，0)，点P到直线BC的距离是该点到直线AB、AC距离的等比中项．
　　⑴ 求点P的轨迹方程；
　　⑵ 若直线L经过ABC的内心(设为D)，且与P点轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围．
　　15．已知，是方程4x2－4tx－1=0(t∈R)的两个不等实根，函数f(x)=2x－tx2+1的定义域为[，]．
　　⑴ 求g(t)=maxf(x)－minf(x)；
　　⑵ 证明：对于ui∈(0，2)(i=1，2，3)，若sinu1+sinu2+sinu3=1，则1g(tanu1)+1g(tanu2)+1g(tanu3)<364．

　　二试题
　　一．(本题满分50分)在锐角三角形ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK的长．
　　二．(本题满分50分)在平面直角坐标系XOY中，y轴正半轴上的点列{An}与曲线y=2x(x≥0)上的点列{Bn}满足|OAn|=|OBn|=1n，直线AnBn在x轴上的截距为an，点Bn的横坐标为bn，n∈N*．
　　⑴ 证明an>an+1>4，n∈N*；
　　⑵ 证明有n0∈N*，使得对∀n>n0，都有b2b1+b3b2+…+bnbn－1+bn+1bn<n－2004．
　　三．(本题满分50分)对于整数n≥4，求出最小的整数f(n)，使得对于任何正整数m，集合{m，m+1，…，m+n－1}的任一个f(n)元子集中，均至少有3个两两互素的元素．

　　2004年全国高中数学联赛试卷
　　第一试
　　一．选择题(本题满分36分，每小题6分)
　　1．设锐角使关于x的方程x2+4xcos+cot=0有重根，则的弧度数为 ( )
　　A．6 B．12或512 C．6或512 D．12
　　解：由方程有重根，故14=4cos2－cot=0，
　　∵ 0<<2，2sin2=1，=12或512．选B．
　　2．已知M={(x，y)|x2+2y2=3}，N={(x，y)|y=mx+b}．若对于所有的m∈R，均有M∩N，则b的取值范围是 ( )
　　A．[－62，62] B．(－62，62) C．(－233，233] D．[－233，233]
　　解：点(0，b)在椭圆内或椭圆上，2b2≤3，b∈[－62，62]．选A．
　　3．不等式log2x－1+12log12x3+2>0的解集为
　　A．[2，3) B．(2，3] C．[2，4) D．(2，4]
　　解：令log2x=t≥1时，t－1>32t－2．t∈[1，2)，x∈[2，4)，选C．
　　4．设点O在ABC的内部，且有→OA+2→OB+3→OC=→0，则ABC的面积与AOC的面积的比为( )
　　A．2 B．32 C．3 D．53
　　解：如图，设AOC=S，则OC1D=3S，OB1D=OB1C1=3S，AOB=OBD=1.5S．OBC=0.5S，ABC=3S．选C．
　　5．设三位数n=¯¯¯abc，若以a，b，c为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有( )
　　A．45个 B．81个 C．165个 D．216个
　　解：⑴等边三角形共9个；
　　⑵ 等腰但不等边三角形：取两个不同数码(设为a，b)，有36种取法，以小数为底时总能构成等腰三角形，而以大数为底时，b<a<2b．a=9或8时，b=4，3，2，1，(8种)；a=7，6时，b=3，2，1(6种)；a=5，4时，b=2，1(4种)；a=3，2时，b=1(2种)，共有20种不能取的值．共有236－20=52种方法，而每取一组数，可有3种方法构成三位数，故共有523=156个三位数
　　即可取156+9=165种数．选C．
　　6．顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆圆心，AB⊥OB，垂足为B，OH⊥PB，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥O－HPC的体积最大时，OB的长为 ( )
　　A．53 B．253 C．63 D．263
　　解：AB⊥OB，PB⊥AB，AB⊥面POB，面PAB⊥面POB．
　　OH⊥PB，OH⊥面PAB，OH⊥HC，OH⊥PC，
　　又，PC⊥OC，PC⊥面OCH．PC是三棱锥P－OCH的高．PC=OC=2．
　　而OCH的面积在OH=HC=2时取得最大值(斜边=2的直角三角形)．
　　当OH=2时，由PO=22，知∠OPB=30，OB=POtan30=263．
　　又解：连线如图，由C为PA中点，故VO－PBC=12VB－AOP，
　　而VO－PHC∶VO－PBC=PHPB=PO2PB2(PO2=PH•PB)．
　　记PO=OA=22=R，∠AOB=，则
　　VP—AOB=16R3sincos=112R3sin2，VB－PCO=124R3sin2．
　　PO2PB2=R2R2+R2cos2=11+cos2=23+cos2．VO－PHC=sin23+cos2112R3．
　　∴ 令y=sin23+cos2，y=2cos2(3+cos2)－(－2sin2)sin2(3+cos2)2=0，得cos2=－13，cos=33，
　　∴ OB=263，选D．

　　二．填空题(本题满分54分，每小题9分)
　　7．在平面直角坐标系xOy中，函数f(x)=asinax+cosax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g(x)= a2+1的图像所围成的封闭图形的面积是 ；
　　解：f(x)= a2+1sin(ax+)，周期=2a，取长为2a，宽为2a2+1的矩形，由对称性知，面积之半即为所求．故填2aa2+1．
　　又解：∫10a2+1[1－sin(ax+)]dx=a2+1a∫20(1－sint)dt=2paa2+1．
　　8．设函数f：R→R，满足f(0)=1，且对任意x，y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)－f(y)－x+2，则f(x)= ；
　　解：令x=y=0，得，f(1)=1－1－0+2，f(1)=2．
　　令y=1，得f(x+1)=2f(x)－2－x+2，即f(x+1)=2f(x)－x．①
　　又，f(yx+1)=f(y)f(x)－f(x)－y+2，令y=1代入，得f(x+1)=2f(x)－f(x)－1+2，即f(x+1)=f(x)+1．②
　　比较①、②得，f(x)=x+1．
　　9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BD1—A1的度数是 ；
　　解：设AB=1，作A1M⊥BD1，AN⊥BD1，则BN•BD1=AB2，BN=D1M=NM=33．
　　A1M=AN=63．
　　∴ AA12=A1M2+MN2+NA2－2A1M•NAcos，12=23+23+13－223cos，cos=12．
　　=60．
　　10．设p是给定的奇质数，正整数k使得k2－pk也是一个正整数，则k= ；
　　解：设k2－pk=n，则(k－p2)2－n2=p24，(2k－p+2n)(2k－p－2n)=p2，k=14(p+1)2．
　　11．已知数列a0，a1，a2，…，an，…满足关系式(3－an+1)(6+an)=18，且a0=3，则n∑i=01ai的值是 ；
　　解：1an+1=2an+13，令bn=1an+13，得b0=23，bn=2bn－1，bn=232n．即1an=2n+1－13，n∑i=01ai=13(2n+2－n－3)．
　　12．在平面直角坐标系xOy中，给定两点M(－1，2)和N(1，4)，点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标为 ；
　　解：当∠MPN最大时，⊙MNP与x轴相切于点P(否则⊙MNP与x轴交于PQ，则线段PQ上的点P使∠MPN更大)．于是，延长NM交x轴于K(－3，0)，有KM•KN=KP2，KP=4．P(1，0)，(－7，0)，但(1，0)处⊙MNP的半径小，从而点P的横坐标=1．
　　三．解答题(本题满分60分，每小题20分)
　　13．一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数的和大于2n，则算过关．问：
　　⑴ 某人在这项游戏中最多能过几关？
　　⑵ 他连过前三关的概率是多少？
　　解：⑴ 设他能过n关，则第n关掷n次，至多得6n点，
　　由6n>2n，知，n≤4．即最多能过4关．
　　⑵ 要求他第一关时掷1次的点数>2，第二关时掷2次的点数和>4，第三关时掷3次的点数和>8．
　　第一关过关的概率=46=23；
　　第二关过关的基本事件有62种，不能过关的基本事件有为不等式x+y≤4的正整数解的个数，有C24个 (亦可枚举计数：1+1，1+2，1+3，2+1，2+2，3+1)计6种，过关的概率=1－662=56；
　　第三关的基本事件有63种，不能过关的基本事件为方程x+y+z≤8的正整数解的总数，可连写8个1，从8个空档中选3个空档的方法为C38=876321=56种，不能过关的概率=5663=727，能过关的概率=2027；
　　∴连过三关的概率=23562027=100243．
　　14．在平面直角坐标系xOy中，给定三点A(0，43)，B(－1，0)，C(1，0)，点P到直线BC的距离是该点到直线AB、AC距离的等比中项．
　　⑴ 求点P的轨迹方程；
　　⑵ 若直线L经过ABC的内心(设为D)，且与P点轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围．
　　解：⑴ 设点P的坐标为(x，y)，
　　AB方程：x－1+3y4=1，4x－3y+4=0， ①
　　BC方程：y=0， ②
　　AC方程：4x+3y－4=0， ③
　　∴ 25|y|2=|(4x－3y+4)(4x+3y－4)|，
　　25y2+16x2－(3y－4)2=0，16x2+16y2+24y－16=0，
　　2x2+2y2+3y－2=0．
　　或25y2－16x2+(3y－4)2=0，16x2－34y2+24y－16=0，
　　8x2－17y2+12y－8=0．
　　∴ 所求轨迹为圆：2x2+2y2+3y－2=0， ④
　　或双曲线：8x2－17y2+12y－8=0． ⑤
　　但应去掉点(－1，0)与(1，0)．
　　⑵ ABC的内心D(0，12)：经过D的直线为x=0或y=kx+12． ⑥
　　(a) 直线x=0与圆④有两个交点，与双曲线⑤没有交点；
　　(b) k=0时，直线y=12与圆④切于点(0，12)，与双曲线⑤交于(±582，12)，即k=0满足要求．
　　(c) k=±12时，直线⑥与圆只有1个公共点，与双曲线⑤也至多有1个公共点，故舍去．
　　(c) k0时，k12时，直线⑥与圆有2个公共点，以⑥代入⑤得：(8－17k2)x2－5kx－254=0．
　　当8－17k2=0或(5k)2－25(8－17k2)=0，即得k=±23417与k=±22．
　　∴ 所求k值的取值范围为{0，±23417，±22}．
　　15．已知，是方程4x2－4tx－1=0(t∈R)的两个不等实根，函数f(x)= 2x－tx2+1的定义域为[，]．
　　⑴ 求g(t)=maxf(x)－minf(x)；
　　⑵ 证明：对于ui∈(0，2)(i=1，2，3)，若sinu1+sinu2+sinu3=1，则1g(tanu1)+1g(tanu2)+1g(tanu3)<364．
　　解：⑴ +=t，=－14．故<0，>0．当x1，x2∈[，]时，
　　∴ f (x)= 2(x2+1)－2x(2x－t)(x2+1)2=－2(x2－xt)+2(x2+1)2．而当x∈[，]时，x2－xt<0，于是f (x)>0，即f(x)在[，]上单调增．
　　∴ g(t)= 2－t2+1－2－t2+1=(2－t)(2+1)－(2－t)(2+1)(2+1)(2+1)=(－)[t(+)－2+2]22+2+2+1
　　=t2+1(t2+52)t2+2516=8t2+1(2t2+5)16t2+25
　　⑵ g(tanu)= 8secu(2sec2u+3)16sec2u+9=16+24cos2u16cosu+9cos3u≥16616+9cos2u，
　　∴ 1g(tanu1)+1g(tanu2)+1g(tanu3)≤1166[163+9(cos2u1+cos2u2+cos2u3)]= 1166[75－9(sin2u1+sin2u2+sin2u3)]
　　而13(sin2u1+sin2u2+sin2u3)≥(sinu1+sinu2+sinu33)2，即9(sin2u1+sin2u2+sin2u3)≥3．
　　∴1g(tanu1)+1g(tanu2)+1g(tanu3)≤1166(75－3)= 364．由于等号不能同时成立，故得证．

Answer 2

我想，你对数学没什么兴趣。数学想学好，就得一个数一个数算，扎扎实实地练。送你一句话：认真是培养兴趣的基石。