二次曲面的不变量

Question

如题所述

Answer 1

可以用二次曲面方程(1)的系数的一些函数来描述二次曲面。经过坐标变换后（见坐标系），方程的系数有所改变，但这些函数的值不变，这些函数称为二次曲面(1)的不变量。用到的不变量有 ，,,, ，其中I1、I2、I3、I4 是坐标轴的平移与旋转的不变量；K1、K2是坐标轴的旋转不变量，且当矩阵的秩是1时，K1是平移不变量；的秩是2时，K2是平移不变量。根据这六个不变量,就可以判定二次曲面(1)的形状(表2)。因此称这六个不变量组成二次曲面的不变量完全系统。I1、I2、I3、I4 称为基本不变量，K1、K2称为条件不变量。 　又称I4≠0的二次曲面为常态二次曲面, I4=0的二次曲面为变态二次曲面。单叶双曲面和双曲抛物面是二次常态直纹曲面，而锥面、柱面和平面是二次变态直纹曲面。具有惟一中心的二次曲面成为变态的充要条件是它有惟一奇异点。 　表2中“类型”一栏说明二次曲面中心的存在情况。第一种情况(I3≠0),二次曲面有唯一中心，称为中心型二次曲面，其他情况的二次曲面或多中心或无中心，统称为非中心型二次曲面。 　利用不变量虽然确定了二次曲面的形状，但不能确定曲面在空间里的位置。通过坐标变换可以确定二次曲面的位置。关于二次曲面的标准型方程，可以通过坐标变换得到，也可以通过不变量的完全系统而得到。