为什么对数函数要换底数?

Question

如题所述

Answer 1

换底公式推导如下：

1、log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)(a,c均大于零且不等于1)

推导过程：若有对数log(a)(b)设a=n^x,b=n^y(n>0,且n不为1)如：log(10)(5)=log(5)(5)/log(5)(10)，则log(a)(b)=log(n^x)(n^y)。根据对数的基本公式，log(a)(M^n)=nloga(M)和基本公式log(a^n)M=1/n×log(a)M。

易得，log(n^x)(n^y)=ylog(n^x)(n)=y/xlog(n)(n)=y/x，由a=n^x,b=n^y可得x=log(n)(a),y=log(n)(b)，则有：log(a)(b)=log(n^x)(n^y)=log(n)(b)/log(n)(a)，得证：log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a)，例子：log(a)(c)*log(c)(a)=log(c)(c)/log(c)(a)*log(c)(a)=log(c)(c)=1

2、log(a)(b)=1/log(b)(a)

证明如下：由换底公式log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a)----取以b为底的对数，log(b)(b)=1=1/log(b)(a)还可变形得:log(a)(b)×log(b)(a)=1。

对数是什么？

如果ab=N(a>0,a≠1)，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b，其中a叫做底数，N叫做真数。

对数符号log出自拉丁文logarithm，最早由意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri）所使用。20世纪初，形成了对数的现代表示。为了使用方便，人们逐渐把以10为底的常用对数及以无理数e为底的自然对数分别记作lgN和lnN。