f(x)在[0,1]上连续,(0,1)上可导,f(0)=0,|f'(x)|<=f(x)证明f(x)=0

Question

请解释为什么f（a）<=f(x0)

Answer 1

f(x) >=|f'(x)| >= 0,又f(x)在[0,1]上连续，故必达最大值。
设 f 在x0处达到最大值。0< x0 <= 1， 如果 f(x0) > 0, 则：
由中值定理有： f(x0) =f(x0) - f(0) = f‘（a)(x0 - 0)=f'(a)x0 , 0<a < x0<=1
===> f(x0) = |f'(a)x0 |<|f'(a)|<＝f（a） ＜＝ f(x0) 矛盾。
所以 恒有 f(x)＝0.

补充：
设 f 在x0处达到最大值。所以 f（a） ＜＝ f(x0)