为什么任何一个自然数都可以拆分成若干个不相同的2的幂的和

Question

如题，例如我设一个数x，它不满足这个条件，那我可以列出怎样的不等式或方程甚至是随便一个式子，证明不存在或存在？（不要说什么十进制都能化成二进制之类的，欺负人家读书少qwq）

Answer 1

反证法我可能还没想到思路。

但是从正面来讲可以正面。不知道你知不知道秦九韶公式？

资料：

把一个n次多项式

改写成如下形式：

求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即

然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即

这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值。

以上引自百度百科。

然后通过这个公式，你把任意一个数反复除以二余数，是不是和上面相对应？自己想一想吧。

追问

9=2的立方+2的0次方。它不一定是降幂排列的？

追答

你说的是连续降幂吗？当中间的幂缺了的时候就是系数为0的特殊情况。

Answer 2

不知道你对二进制有没有了解。通过二进制和十进制的互相转换过程，就可以得到任何一个自然数都可以拆分成若干个不相同的2的幂的和，且2的冥数互不相同的结论。
比如1001（二进制），转换为十进制是=1*2^0+0*2^1+0*2^2+1*2^3=9
而9（十进制）转换成二进制的过程，就是用9除以2，记录余数，商再除以2，记录余数，直到得到的商为1或0并进位记录。本回答被提问者采纳

Answer 3

n=1和n=2可以写作不同2的幂形式
若n<=2k（k>=1）可以都写作不同2的幂组合 记作2k=f(2k)，f(2k)为不含 2的0次幂的组合 因为f(2k)是偶数 所以f(2k)不含2^0 那么2k+1=f(2k)+1=f(2k)+2^0 所以n=2k+1可以写
作不同2的幂组合 从而n<=2k+1的奇数都可以写作不同2的幂组合
n=2k+2时, 分解因式2k+2=(2^(u))(2p+1) u>=1的整数 p是自然数（p>=0）那么
2p+1<=2k+1 2k+2=（2^u）f(2p+1) 也可以写作不同2的幂组合
根据数学归纳法 所有的正整数都可以写作不同2的幂组合

Answer 4

因为2的零次幂就是1呀，一个自然数总能拆开为若干个1的和吧，然后进行组合追问

不相同的

不相同的，要证明。有没有一个值，不满足。我怎么证明没有这个值？

Answer 5

一个自然数一定能分成若干个1吧？
不相同:假设1个数拆分后，有2个1（2的零次幂），那么为什么不在分的时候干脆多加一个2（2的1次幂）呢？
同样的，如果有分出2个2的x次方，就一定能分出1个2的x+1次方
比如10可以拆成8+1+1，有重复，那直接拆成8+2不就好了