设X和Y都是赋范空间，从X到Y的线性映射都是连续的。证明x是有限维的？

Question

如题所述

Answer 1

如果X是无限维空间, 那么X的基有无限个元素, 从中取可列个出来: x_1,x_2,...,x_n,..., 并且可以要求这些元素是归一的, 即||x_i||=1.

在Y中取一个非零元y, 定义X->Y的线性映射F满足F(x_1)=y, F(x_2)=2y, ..., F(x_n)=ny, ..., 在X的基的其余元素上F(x)=0, 那么显然F是无界的映射, 即F不连续, 矛盾.