勾股定理，这是我们初中就要学的一个简单的数学公式，具体内容是“直角三角的斜边的平方等于两条直角边的平方”，既是a²+b²=c²。
勾股定理应用范围非常之广，在中国古代称直角三角形的两个直角边为“勾”和“股”，斜边为“弦”或“径”，这才是“勾股定理”的名称来源。而这条定理最早由谁提出？并在理论上阐明的呢？
这有两个说法，一说是中国人，一说是古希腊人。
根据《九章算术》里记载，勾股定理是有距今3000多年前的周朝人商高发现的。
据说周公听说商高精通算数（就是周公解梦的那个“周公”），
就去问商高：“古时伏羲观天制历法，天无台阶可攀，也难用尺寸度量，而这些数是从何而来？”
商高回答道：“是通过测量计算而来，而测量的工具“矩”是一根木头按三、四、五的比例而分为三段做成三角形。折矩为勾，广三、股修四，经隅五，故有禹之所以治天下，此数之所生也。”
周公又问：“用矩之道何为？”
于是数学家商高又和周公讲解了不少关于用矩测量的方法，最后商高用自己超高的数学理论征服了周公，让周公赞叹发出了和尚的一句口头禅“善哉！善哉！”因此勾股定理又称“商高定理”。
在西方，勾股定理最早提出并证明此定理的，是公元前6世纪的古希腊的毕德哥拉斯学派，他们演绎方法证明三角形的斜边平方等于两个直角边平方之和。所以勾股定理也称“毕达哥拉斯定理”。
在时间上看的出中国人最早就提出勾股定理，早在公元前10世纪的周朝就出现了，但如今我们学的现代数学的都是来自于西方，古希腊人更严谨证明了勾股定理，并把他们理论化，广泛用于各个领域中，这方面来说古希腊人这点还是很强的。
勾股定理考点分析：1）解决图形的折叠问题；
2）解决最短路径问题；
3）在现实生活中的应用。
勾股定理涉及的折叠问题在中考中涉考频率较大，还会与动点问题进行结合。
1、翻折变换（折叠问题）
如图，有一直角三角形纸片ABC，边BC=6，AB=10，∠ACB=90°，将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点A与点C重合，求四边形DBCE的周长。
来自备课大师
【解析】
先由折叠的性质得AE=CE，AD=CD，∠DCE=∠A，进而得出，∠B=∠BCD，求得BD=CD=AD=1/2 AB=5，DE为△ABC的中位线，得到DE的长，再在Rt△ABC中，由勾股定理得到AC=8，即可得四边形DBCE的周长．
2、最短路径问题
图①所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为多少？
【解析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将图②的几何体表面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果
3、圆和圆相切的性质
半径为2，点O2在射线OB上运动，且⊙O2始终与OA相切，当⊙O2和⊙O1相切时，求⊙O2的半径。
作O2C⊥OA于点C，连接O1O2，设O2C=r，根据⊙O1的半径为2，OO1=7，表示出O1O2=r+2，O1C=7﹣r，利用勾股定理列出有关r的方程求解即可。
4、平面展开
如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有乙滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外币A处到达内壁B处的最短距离为多少？
【解析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．