怎么求函数在某点取得极小值或者极大值？

Question

如题所述

Answer 1

我来做一次吧，楼上那方法还真弄麻烦了
令u = tan(x/2)，cosx = (1 - u²)/(1 + u²)，dx = 2du/(1 + u²)
∫ 1/(2 + cosx) * dx
= ∫ 1/[2 + (1 - u²)/(1 + u²)] * 2du/(1 + u²)
= ∫ (1 + u²)/(2 + 2u² + 1 - u²) * 2du/(1 + u²)
= 2∫ du/(u² + 3)，用公式：∫ dx/(x² + a²) = (1/a)arctan(x/a) + C，可得
= (2/√3)arctan(u/√3) + C
= (2/√3)arctan[(1/√3)tan(x/2)] + C，快很多吧

另解：
∫ dx/(2 + cosx)
= ∫ dx/[2sin²(x/2) + 2cos²(x/2) + cos²(x/2) - sin²(x/2)]，公式cos2x = cos²x - sin²x
= ∫ dx/[3cos²(x/2) + sin²(x/2)]，分子和分母再除以cos²(x/2)
= 2∫ sec²(x/2)/[3 + tan²(x/2)] d(x/2)
= 2∫ d[tan(x/2)]/[3 + tan²(x/2)]，凑sec²(x/2) d(x/2) = d[tan(x/2)]
= 2 * 1/√3 * arctan[tan(x/2)/√3] + C，公式：∫ dx/(x² + a²) = (1/a)arctan(x/a) + C
= (2/√3)arctan[(1/√3)tan(x/2)] + C