如何理解矩阵的秩？

Question

如题所述

Answer 1

AX=B

对增广矩阵(A，B) 做初等行变换

先化成梯矩阵

非零行数即增广矩阵的秩，不算最后一列的非零行数即系数矩阵的秩

比如 (A，B) 化为

1 2 3 4 5

0 0 6 7 8

0 0 0 0 0

则 r(A，B)=2，r(A)=2

方程组有解的充分必要条件是 r(A)=r(A，B)

且 r(A)=r(A，B)=n (未知量的个数或A的列数) 时，方程组有唯一解

r(A)=r(A，B)

扩展资料

矩阵的秩

定理：矩阵的行秩，列秩，秩都相等。

定理：初等变换不改变矩阵的秩。

定理：如果A可逆，则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。

定理：矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};

引理：设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。

当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。