数列求和：Cn=（n+1/n）*（3-n/2的n+1次方）。

Question

Tn=c1+c2+c3+……+cn，试求Tn

Answer 1

Cn=3n+3/n-n^2/2^(n+1)-1/2^(n+1)
可以看成等差数列+调和数列+幂数列乘等比数列+等比数列
等差数列求和公式得n(3n+3)/2
调和数列求和公式为Sn=1+1/2+1/3+…+1/n=ln(n)+C，(C为欧拉常数)
3/n求和为3ln(n)+3C
等比数列求和公式为得-1/4*(1-1/2^n)/(1-1/2)
关于第三项的求法，可以参见错位相减法，即
Sn= 1^2/2^2+2^2/2^3+3^2/2^4+.....+(n-1)^2/2^n+n^2/2^(n+1)
2Sn=1^2/2^1+2^2/2^2+3^2/2^3+4^2/2^4+.... +n^2/2^n
Sn=1^2/2^1+(2*1+1)/2^2+(2*2+1)/2^3+(2*3+1)/2^4+.... +(2*(n-1)+1)/2^n-n^2/2^(n+1)
此时可将中间n-1项看成等差数列与等比数列的乘积，再次使用错位相减法，
可得
Sn= 1^2/2^1+(2*1+1)/2^2+(2*2+1)/2^3+(2*3+1)/2^4+.... +(2*(n-1)+1)/2^n-n^2/2^(n+1)
2Sn=1^2+(2*1+1)/2^1+(2*2+1)/2^2+(2*3+1)/2^3+.... +(2*(n-1)+1)/2^(n-1)-n^2/2^n
Sn=1^2+2/2^1+2/2^2+2/2^3+.... +2/2^(n-1)-n^2/2^n+n^2/2^(n+1)
=1+1*(1-1/2^(n-1))/(1-1/2)+n^2/2^(n+1)
将以上分析的三项相加，再减去Sn即得
Tn=n(3n+3)/2+3ln(n)+3C-(1+1*(1-1/2^(n-1))/(1-1/2)+n^2/2^(n+1))-1/4*(1-1/2^n)/(1-1/2)
=3n(n+1)/2+3lnn+3C-7/2-(n^2-1)/2^(n+1)