一道高三文科数学题。数列。

Question

数列{An}的前n项和Sn满足Sn=2An - 3n（n∈N*）.
（1）求数列{An}的通项公式An.
（2）数列{An}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项‘若不存在，请说明理由。

请写明过程，谢谢。

Answer 1

Sn=2An - 3n
S(n-1) = 2A(n-1)-3(n-1)
An=Sn-S(n-1)=2An-2A(n-1)+3
An +3 = 2A(n-1)
就是：(An-3) = 2[A(n-1)-3]
An-3构成等比数列，An-3 = (A1-3) *2^(n-1)
An= 3+ (A1-3)*2^(n-1)

如果存在等差子列，设为k<m<n项

则要求2^(k-1) + 2^(n-1) = 2^(m-1) *2
提取出2^(k-1)得到
1+2^(n-k) = 2^(m-k+1)
这个式子只有当n=k或者m-k+1=0才可能成立（否则偶数相减不可能等于1）
因为m,n,k互不相等，只有当k=m+1似乎才可能，而此时等式右侧是1，左侧是1加上一个正数，是不可能成立的
因此不存在这样的等差子列

Answer 2

Sn-S(n-1)=An=2An-3n-(2A(n-1)-3(n-1)) 所以..............

设存在,则2A(a-1)=Aa+A(a-2) 由上面得..........................................

Answer 3

Sn=2An-3n
S(n-1)=2A(n-1)-3(n-1)
两式相减
An=2An-3n-(2A(n-1)-3(n-1))
An=2A(n-1)-3
所以An是等差数列(An-3)/((An-1)-3)=2

Answer 4

Sn=2An - 3n
S(n-1) = 2A(n-1)-3(n-1)
An=Sn-S(n-1)=2An-2A(n-1)+3
An +3 = 2A(n-1)
就是：(An-3) = 2[A(n-1)-3]
An-3构成等比数列，An-3 = (A1-3) *2^(n-1)
An= 3+ (A1-3)*2^(n-1)

如果存在等差子列，设为k<m<n项

则要求2^(k-1) + 2^(n-1) = 2^(m-1) *2
提取出2^(k-1)得到
1+2^(n-k) = 2^(m-k+1)
这个式子只有当n=k或者m-k+1=0才可能成立