长途列车由于旅途时间较长，需要提供车上的一些服务。提供一天三餐是主要的服务。由于火车上各方面的成本

Question

（长途列车由于旅途时间较长，需要提供车上的一些服务。提供一天三餐是主要的服务。由于火车上各方面的成本高。）以T238次哈尔滨到广州的火车为例，每天早餐为一碗粥、一个鸡蛋及些许咸菜，价格10元；中午及晚上为盒饭，价格一律15元。由于价格偏贵，乘客一般自带食品如方便面、面包等。列车上也卖方便面及面包等食品，但价格也偏贵。如一般售价3元的方便买卖5元。当然，由于列车容量有限，因此提供的用餐量及食品是有限的，适当提高价格是正常的。但高出的价格应有一定的限制，不能高的过头。假如车上有乘客1000人，其中500人有在车上买饭的要求，但车上盒饭每餐只能供给200人；另外，车上还可提供每餐100人的方便面。请你根据实际情况设计一个价格方案，使列车在用餐销售上效益最大。

Answer 1

列车售餐价格问题

1 摘要：列车上的服务方处于垄断地位，有着得天独厚的优势，让食品以高出市场价售出很容易。价格越高利润自然越大，但乘客有一个承受的上限，超过这一上限，随着价格的继续提高，就会有越来越多的乘客放弃购买，相应地服务方所获得的总的利润就会随之发生变化。在本模型中，我们选供需双方为一个系统，站在供者的角度研究怎样使得售价乘需求量减成本，即,使销售效益最大化的问题

2 问题重述：
长途列车由于时间漫长，需要提供车上的一些服务。提供一天三餐是主要的服务。由于火车上各方面的成本高，因此车上食物的价格也略高。以K452次成都开往乌鲁木齐的列车为例，每天早餐为一碗粥、一个鸡蛋及些许咸菜，价格10元；中午及晚上为盒饭，价格一律15元。由于价格偏贵，乘客一般自带食品如方便面、面包等。列车上也卖方便面及面包等食品，但价格也偏贵。如一般售价3元的方便面卖5元。当然，由于列车容量有限，因此提供的用餐量及食品是有限的，适当提高价格是正常的。但高出的价格应有一个限制，不能高得过头。假如车上有乘客1000人，其中500人有在车上买饭的要求，但车上盒饭每餐只能供给200人；另外，车上还可提供每餐100人的方便面。请你根据实际情况设计一个价格方案，使列车在用餐销售上效益最大。
3 问题分析：
价格增长利润增加同时导致要求购买的人数下降；
价格降低利润减小同时导致要求购买的人数上升；
存在最优的价格使得列车上的东西全都售出同时获得最大效益；
这是一个优化问题，关键在找到最优的价格。

4 问题假设：
1.盒饭价格每增加1元，就会有20个人选择放弃购买 ,即b1 = 20;
2.方便面价格每增加1元，就会有36个人选择放弃购买 ,即b2 = 36;
3.因为500人有在车上买饭的要求，假设早餐能提供500份；
4.早餐的价格每增加1元，就会有30个人选择放弃购买, 即b3 = 30;
5.各餐饮市场上的价格作为这里的成本价,即q1 = 10元（盒饭），q2 = 3元（方便面），q3 =5元（早餐）；
6.销量 x 依赖于价格 p, x(p)是减函数
7.进一步设: x ( p ) = a – bp, a, b > 0；

5 符号说明：
q：以各餐饮市场上的价格作为这里的成本价，即食物的成本价；
p：食物所卖的价格；
a：绝对需求( p很小时的需求)，即价格最低时的购买人数；
b：价格上升1元时购买人数的下降幅度（需求对价格的敏感度）；
I：收入；U：利润；C：支出；
x：需要购买某食物的人数；
相应的下标1，2，3分别表示早餐，盒饭，方便面;例如：x1, x2, x3分别表示购买盒饭，方便面，早餐的人数；
6 模型建立与求解：
采用先统一再分开的算法；
收入I ( p ) = px; 支出 C ( p ) = qx; 利润 U ( p ) = I ( p ) – C ( p ); 求p使U ( p ) 最大；
使利润 U(p)最大的最优价格 p*满足

U ( p ) = I ( p ) – C ( p )
= (p – q )( a – bp)
= -bpp + ( a + bq)p - aq

因为
q / 2 ~ 成本的一半；
b ~ 价格上升1单位时销量的下降幅度（需求对价格的敏感度）b p*
a ~ 绝对需求( p很小时的需求) a p*

7 对于盒饭：
由假设可知：q1 = 10, b1 = 20；因为500人有在车上买饭的要求，但车上盒饭每餐只能供给200人；所以：a1 = 500; 购买人数x1 = 500 – 20p1;
由p* = q / 2 + a / 2 * b 可得：p* = q1 / 2 + a1 / 2 * b1 = 10 / 2 + 500 / 2 * 20 = 17.5;
由 500 – 20 * 17.5 = 150 < 200; 此时不能直接用公式；
由500 – 20p1 >= 200 得到 p1 <= 15;
所以取得最大利润时p1 = 15;

8 同理可得方便面：
q2 = 3, b2 = 36；因为500人有在车上买饭的要求，但车上盒饭每餐只能供给200人，此时还剩下300人需求方便面；所以，a2 = 300, 购买人数x = 300 –36p2 ;
由p* = q / 2 + a / 2 * b 可得：p* = q2 / 2 + a2 / 2 * b2 = 3 / 2 + 300 / 2 * 36 = 6.3;
由 300 – 36 * 6.3 = 73 < 100; 此时也不能直接用公式
由 300 – 36 * p2 >= 100;得到p2 <= 5.5 由U（p）= -bpp + (a + bq)p – aq可知：
当U（p)取最大值时，p2 = 5.5;

9 同理可得早餐：
q3 = 5, b3 = 30；因为500人有在车上买饭的要求，以：a1 = 500; 购买人数x1 = 500 – 30p3;
因为供应量不受约束，所以可以直接用公式：
由p* = q / 2 + a / 2 * b 可得：p* = q3 / 2 + a3 / 2 * b3 = 5 / 2 + 500 / 2 * 30 = 11.5;
所以取得最大利润时p1 = 11.5;

10 结果分析与检验:
1）盒饭、方便面、早餐的价格分别为15元、5.5元、11.5元；
通过计算各价格都没有超出市场价格的3倍，并且能使所提供（早餐除外）的卖完.并从中获取最大的效益；
算出的这些结果，消费者应当能够接受的；
该模型算出的价格跟列车的实际价格相差不多，说明它是合理的；
该模型中的建模与求解的过程已对它检验过了，深入地检验有待实践去完成；

11 模型的评价：
优点：由一个二次函数来解决了这个价格优化问题，从而获得了最大效益；使一个复杂多变的问题简单化了；
缺点：需求对价格的敏感度仅靠自我的经验而得出的并没有精确化，敏感度问题仅用了一次函数，这太过简单化，可能不能很好的表现出它真实的模；
改进方向： 将敏感度问题精确化，进一步的接近于现实；函数可以尝试用更高层次富于变化的；
推广新思想：建立数学模型必须从多方面去思考，它的最终目的是使复杂问题简单化、实际问题数学化；数学问题又生活化；但这些都有一个前提：必须要有严密的数学法则，数学理论为基础；

12 参考文献：
[1] 熊伟.运筹学[M]，武汉.武汉理工大学
　 [2] 姜启源等.数学模型[M]，北京.高等教育出版社