矩阵的秩是矩阵中子式的行列式不为零的最高阶数，可在取其最高阶N子式的任意N行N列时，其行列式值也有为零

Question

如题所述

Answer 1

是这样的.
这个定理要这样理解:
1. 若A中有非零的r阶子式, 则A的秩至少是 r, 即 r(A)>=r.
2. 若A中所有 r+1 阶子式都为零, 则A的秩至多是 r, 即 r(A)<=r.

所以, 当A的最高阶非零的子式为N阶时, 是说它 至少有一个(并不是说全部) N阶子式不为0, 由(1)知 r(A)>=N.
又因为A的最高阶是非零子式是N阶, 是说A的所有N+1阶子式都是0, 由(2)知 r(A)<=N.

比如: 矩阵A=
1 2 0 0
0 2 0 0
它的秩=2, 但它也有2阶子式=0.

Answer 2

每列2个非零元素，一个正1，一个负1。
现在一个子行列式，取了某些行，某些列。
如果某列只有一个非零元，那这列跟没取一样，因为按这列展开后，等于剩下的行列式乘以一个正1或者负1。

Answer 3

每列2个非零元素，一个正1，一个负1。
现在一个子行列式，取了某些行，某些列。
如果某列只有一个非零元，那这列跟没取一样，因为按这列展开后，等于剩下的行列式乘以一个正1或者负1。只需证剩下的行列式在里。

所以，假设子行列式每列都有2个非零元。于是，每列的和都是0，这样的行列式=0，因为可以做这样一个变换：把除了最后一行的所有行一一加到最后一行，使得最后一行全0，这个变换不改变行列式的值，且最后的那个行列式=0。