设函数f(x)=lim (1+x)/(1+x^2n) [n→∞] 讨论f(x)的间断点。 有解答

Question

如题所述

Answer 1

解：∵f(x)=lim(n->∞)[(1+x)/(1+x^2n)]
∴当│x│<1时，f(x)=1+x
当│x│=1时，f(x)=(1+x)/2
当│x│>1时，f(x)=0
∴函数f(x)有可能是间断点的点只能是点x=±1
∵lim(x->-1+)f(x)=lim(x->-1+)(1+x)=0
lim(x->-1-)f(x)=0
f(-1)=(1+(-1))/2=0
∴lim(x->-1+)f(x)=lim(x->-1-)f(x)=f(0)
∴x=-1是连续点
∵lim(x->1+)f(x)=0
lim(x->1-)f(x)=lim(x->1-)(1+x)=2
f(1)=(1+1)/2=1
∴lim(x->1+)f(x)≠lim(x->1-)f(x)
∴根据间断点分类定义知，x=1是函数f(x)的第一类间断点
故函数f(x)只有一个第一类间断点x=1。