一道证明规律的数学题

Question

先有三个公式5²-3²=8*2,9²-7²=8*4,15²-7²=8*22.之后又更具前面的规律写出11²-5²=8*12,15²-7²=8*22…………
1：写出几个更上面有同规律的式子。
2：用文字写出反映上述算式的规律。
3：证明这个规律的正确性。

Answer 1

一、具有相同规律的式子：
7²-3²=8×5
9²-5²=8×7
15²-3²=8×27
11²-7²=8×9
19²-11²=8×30
······等等。

二、规律的描述：
任意两个奇数的平方差是8的倍数。

三、规律的证明：
证明：假定两个不同的奇数为：2a-1、2b-1，其中a、b为正整数，并约定a>b。则有

(2a-1)²-(2b-1)²
=4a²-4a+1-(4b²-4b+1)
=4a²-4b²-4a+4b
=4(a²-b²)-4(a-b)
=4(a-b)(a+b)-4(a-b)
=4(a-b)(a+b-1)

由于(a-b)+(a+b-1)=2a-1，可见两个因数之和为奇数，说明这两个因数是一奇一偶，也就是说(a-b)(a+b-1)能被2整除，则
4(a-b)(a+b-1)能被8整除。

注：也可以直接去看本人以前的证明：
http://zhidao.baidu.com/question/21125898.html?si=2