利用全微分求近似值 √ （1.02）^3+（1.97）^3

Question

如题所述

Answer 1

令z=f(x,y)= (x^3 +y^3) ^0.5
z'x=1.5 x^2 /(x^3 +y^3) ^0.5
z'y=1.5 y^2 /(x^3 +y^3) ^0.5
dz=z'x dx + z'y dy= 1.5 /(x^3 +y^3) ^0.5 *(x^2dx + y^2 dy)
取x=1,y=2, dx=0.02, dy=-0.03代入上式得 dz= - 0.05
f(1+dx,2+dy) -f(1,2)≈dz=-0.05
√ （1.02）^3+（1.97）^3 = f(1+dx,2+dy) ≈3-0.05=2.95

Answer 2

令f(x,y)=√(x³+y³)
令x=1.00,y=2.00,则Δx=0.02,Δy=-0.03,f(1,2)=3
偏f/偏x(1,2)=[3x²/2√(x³+y³)]|(1,2)=1/2
偏f/偏y(1,2)=[3y²/2√(x³+y³)]|(1,2)=2
∴√ [（1.02）^3+（1.97）^3 ]=f(1,2)+偏f/偏x(1,2)·Δx+偏f/偏y(1,2)·Δy
=3+1/2·0.02+2·(-0.03)
=2.95