完全平方数~!!

Question

需解释(过程)
1.一个四位的正数,加上400后就成为一个自然数的完全平方数,这样的四位数的个数有多少

2.三个连续自然数的平方和是不是某个自然数的平方

3.求证:形如3n+2的数不是完全平数,其中n为正整数

Answer 1

1.
四位数范围从1000到9999
则四位数 + 400 的范围从 1400 到 10399
因为
√1400 = 37.42
√10399 = 101.98
因此四位数 + 400 范围内的完全平方数有：38到101这 101 - 38 + 1 = 64个
所以符合题意的四位数有 64 个
2.命题为否。
令三个连续自然数中，中间的数为N，则平方和为
(N - 1) ^2 + N^2 + (N + 1) ^2 = 3N^2 + 2
利用第三题命题，形如3n+2的数不是完全平方数，推得3(N^2) + 2不是完全平方数，则三个连续自然数的平方和必不是某个自然数的平方。

3、
对任何自然数N，被3除的余数情况仅有0、±1这3种。
(1) 令N = 3K 【余数为0的情况】
N^2 = (3K)^2 = 9K^2，被3除余0
(2) 令N = 3K ± 1 【余数为±1的情况】
N^2 = (3K ± 1)^2 = 9K^2 ± 6K + 1，被3除余1。
综上，任何自然数的完全平方数，被3除的余数仅有0、1这两种情况。

而3n+2 这样的数，被3除余2，与前证矛盾，必不是完全平方数。

Answer 2

【1】
A+400 = B^2
所以A=B^2-400 = (B+200)(B-200)
由于A是个四位数，所以B^2-400是一个四位数。B^2必须不小于1400. 但也不能大于10400
由此得出B的范围：B=38,39,40......100,101。
共有64个B满足，于是相应的A也有64个。

【2】
设三个数为n-1,n,n+1
(n-1)^2+n^2+(n+1)^2 = 3(n^2)+2
由于【3】小题中的结论(证明见下)，形如3*N+2的数(N为整数)不是完全平方数。
所以这个数不是某个自然数的平方。

【3】
假设3n+2=m^2
那么现在看有没有满足条件的m使得：m^2 - 2 = 3n
由于不知道m,n的具体条件，对于m分情况讨论：
(1)当m是3的倍数：即m = 3k (k任意整数)
此时m^2 - 2 = 9(k^2) - 2 = 3(3*k^2 -1) +1 也就是说，被3除余1；
(2)m被3除余1的情况：m=3k+1
此时m^2 - 2= 9*k^2 + 6k -1 = 3(3*k^2 + 2k ) -1 即被三除余2；
(3)m被3除余2的情况：m=3k+2
此时m^2 - 2 = 9*k^2 + 12k + 4 -2 = 9*k^2 + 12k + 2 = 3(3*k^2 +4k) +1 被3除余2
所以可以知道：不管m取什么样的整数，其平方数减2 即【m^2 - 2】都永远不可能被3除尽
也就是：【m^2 - 2 = 3n】不可能成立
也就是：3n+2=m^2不可能成立 所以形如3n+2的数不是完全平方数。

Answer 3