高三数学导数

Question

f(x)=xlnx f(x)的导函数是g(x） 对于任意x1 x2大于0 x1>x2 均满足 f(x1)-f（x2)/g(x1)-g(x2)〉a 求a的取值范围

Answer 1

我用了一下拉格朗日中值定理（高等数学的知识），解答如下
f(x)=xlnx,则g(x)=lnx+1.
由lagrange中值定理，f '(x)=(f(x1)-f(x2))/(x1-x2).（x在x1,x2之间取值）
本题就是g(x)=(f(x1)-f(x2))/(x1-x2).
下面化简要求的式子
f(x1)-f(x2)=g(x)*(x1-x2) x∈ (x2,x1)
则有
a<(g(x)*(x1-x2))/(g(x1)-g(x2))
把分子上的x1-x2除到分母上
a<g(x) / (g(x1)-g(x2))/(x1-x2)
注意分母，再次用lagrange中值定理，就是g'(x),
g'(x)=1/x. x∈ (x2,x1)
a<g(x)/g'(x)
g(x)=lnx+1.g'(x)=1/x,则
a<(xlnx+x)min 令F（x）=xlnx+x
对F(x)求导，F'(X)=1+(1+lnx)=2+lnx
当F‘(x)=0时取得极小值（也是函数的最小值）
此时 x=e^(-2)
计算F（x）min=1/(e^2)-2/(e^2)= - 1/(e^2)能取到
所以a<-1/(e^2)
现在的高中都考lagrange定理啦？我几年前高考的时候都没有。。。追问

会不会是a前的符号错了求最大值。 能不能避开高等数学

追答

这我到不太清楚，我现在能想到的就是这个方法，是符号问题还是什么的，这个没法下定论。我再考虑考虑吧，有其他方法再给你回答，没有的话，就只有这样了

Answer 2

解：f(x)=xlnx f(x)的导函数是g(x），g(x）=lnx+1
f(x1)-f（x2)/g(x1)-g(x2)=(x1lnx1- x2lnx2)/(lnx1-lnx2),同时消去lnx1-lnx2

得到X1-X2，因为任意x1 x2大于0 x1>x2 ，所以X1-X2 〉0〉a