图中P、q、l、EI等已知，用积分法求图示梁中截面B的挠度和转角。

Question

如题所述

Answer 1

（1）积分法：
距左端x处，弯矩为：
0≤x≤l/2,M（x）=q(l/2-x)^2/2-P(l-x),
l/2≤x≤l，M(x)=-P(l-x),
设距左端x位置梁的挠度为y，则
y''=-M(x)/EI,
积分得：
0≤x≤l/2时，y‘=-（1/EI）∫[q(l/2-x)^2/2-P(l-x)]dx
=-(1/EI)[(q/3)(l/2-x)^3/(-1)-P/2×（l-x）^2/(-1)]+C
=(1/EI)[(q/3)(l/2-x)^3-P/2×（l-x）^2]+C
y'就是梁的转角θ(x),所以：
θ(x)=(1/EI)[(q/3)(l/2-x)^3-P/2×（l-x）^2]+C
x=0时，θ=0,
所以：
(1/EI)[(q/3)(l/2)^3-P/2×（l）^2]+C=0
C=[-ql^3/24+Pl^2/2]/EI
y'=θ(x)=[(q/3)(l/2-x)^3-P/2×（l-x）^2-ql^3/24+Pl^2/2]/EI
l/2≤x≤l时：
y'=-（1/EI）∫[-P(l-x)]dx
=(1/EI)[P/2.(l-x)^2/(-1)+C1]
=(1/EI)[-(P/2)(l-x)^2+C1],
x=l/2时，前面两个y'相等：
-(P/2)(l/2)^2+C1=(q/3)(l/2-l/2)^3-P/2×（l/2）^2-ql^3/24+Pl^2/2
-Pl^2/8+C1=-Pl^2/8-ql^3/24+Pl^2/2
C1=-ql^3/24+Pl^2/2
y'=θ(x)=[-(P/2)(l-x)^2-ql^3/24+Pl^2/2]/EI
再积分：
0≤x≤l/2:
y=∫[(q/3)(l/2-x)^3-P/2×（l-x）^2-ql^3/24+Pl^2/2]/EI.dx
=[-(q/12)(l/2-x)^4+(P/6)(l-x)^3-qxl^3/24+Pxl^2/2]/EI+C2,
x=0,y=0:
[-(q/12)(l/2)^4+(P/6)(l)^3]/EI+C2=0
C2=[ql^4/192-Pl^3/6]/EI
y=[-(q/12)(l/2-x)^4+(P/6)(l-x)^3-qxl^3/24+Pxl^2/2+ql^4/192-Pl^3/6]/EI
l/2≤x≤l：
y=∫[-(P/2)(l-x)^2-ql^3/24+Pl^2/2]/EI.dx
=[（P/6）（l-x)^3-qxl^3/24+Pxl^2/2]/EI+C3,
x=l/2时，两个y的式子，值相等：
[-(q/12)(l/2-l/2)^4+(P/6)(l/2)^3-ql/2.l^3/24+Pl/2.l^2/2+ql^4/192-Pl^3/6]/EI=[（P/6）（l/2)^3-ql/2.l^3/24+Pl/2.l^2/2]/EI+C3
[+ql^4/192-Pl^3/6]/EI=C3
所以：
y=[（P/6）（l-x)^3-qxl^3/24+Pxl^2/2+ql^4/192-Pl^3/6]/EI
x=l代入：

yB=[-ql^4/24+Pl^3/2+ql^4/192-Pl^3/6]/EI
=[-7ql^4/192+Pl^3/3]/EI
θB=[-ql^3/24+Pl^2/2]/EI
（2）迭加法比较简单，用悬臂梁的公式，代入迭加即可。
需要注意的是，均布荷载部分只有半跨，右端伸出的自由部分，按直线处理。
y（B）=y（l/2）+（l/2）.θ（l/2），
θ（B）=θ（l/2）