高等数学：求线性微分方程的通解

Question

如题所述

Answer 1

方程转化为y'=-y/x+x+3+2/x
先求齐次方程y'=-y/x
dy/y=-dx/x
ln|y|=-ln|x|+ln|C|
即y=C/x
由常数变易法，令y=C(x)/x
代入原方程得
C'(x)/x =x+3+2/x
C'(x)=x²+3x+2
C(x)=x^3 /3 +3x²/2 +2x +C
故原方程的通解为
y=(x^3 /3 +3x²/2 +2x +C) /x
即y=x²/3 +3x/2 +2 +C/x

Answer 2

xy'+y=x^2+3x+2
y'+y/x=x+3+2/x
先求对应的齐次方程的通解.
dy/dx+y/x=0
dy/y=-dx/x
ln|y|=-ln|x|-lnC2=-ln|C2x|
|y|=1/(|C2x|)
y=C1/x
用常数变易法,把C1换成u,即令
y=u/x ①
那么dy/dx=u '/x-u/x²
代入所给非齐次方程,得
u '/x-u/x²+u/x²=x+3+2/x
u '=x²+3x+2
两端积分,得u=x³/3+3x²/2+2x+C0
把上式代入①式,得y=x²/3+3x/2+2+C