类似于求数列和怎样求1/2+1/3+1/4+1/5+……1/n=

Question

如题所述

Answer 1

（1）
形如1+1/2+1/3+…+1/n+…的级数称为调和级数(还可以推广到等差数列的倒数之和)；
也是P-级数(自然数数列的整数p次幂的倒数之和)的特例；黎曼zeta函数也由此得来。

（2）Euler(欧拉)在1734年，利用Newton在一书中写到的结果：ln(1+x) = x - x2/2 + x3/3 -，得到：
ln(1+1/x) = 1/x - 1/2x^2 + 1/3x^3 - ...
于是：
1/x = ln((x+1)/x) + 1/2x^2 - 1/3x^3 + ...
代入x=1,2,...,n，就给出：
1/1 = ln(2) + 1/2 - 1/3 + 1/4 -1/5 + ...
1/2 = ln(3/2) + 1/2*4 - 1/3*8 + 1/4*16 - ...
......
1/n = ln((n+1)/n) + 1/2n^2 - 1/3n^3 + ...
相加，就得到：
1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + {1/2*(1+1/4+1/9+...+1/n^2) - 1/3*(1+1/8+1/27+...+1/n^3) + ...}
= ln(n+1)+γ(n)
当n趋于无穷大时，γ(n)收敛为常数，记成γ.
欧拉当时近似地计算得到0.577218,1761年又计算到第16位；1790年，意大利数学家马歇罗尼(Lorenzo Mascheroni)引入了γ作为这个常数的符号，并进一步计算之。其部分数值：0.57721566490153286060651209....
这个数一般称作欧拉常数，目前没有公认的成果判定该数是否为无理数。

（3）中世纪后期的数学家Oresme在1360年就证明了这个级数是发散的。他的方法很简单：
1 +1/2+1/3 +1/4 + 1/5+ 1/6+1/7+1/8 +... >1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...,显然后者为无数个1/2的和，是发散的。
(类似可证当p>1时，p-级数却是收敛的:
http://web.gditt.edu.cn/jp/shuxue/down/skja/d53j.doc)

(4)附基本概念：
http://baike.baidu.com/view/132000.htm
级数：将数列un的项 u1，u2，…，un，…依次用加号连接起来的函数
此时该数列的通项也称为级数的通项；数列的部分和也称为级数的部分和。
一般所讲的级数是指无穷项的，所以与“数列的部分和”这个概念并不等价，但他们是相关的，有时可以不加区分。

请参考：
*1 百度百科-调和级数
http://baike.baidu.com/view/1179291.htm
*2 P-级数
http://baike.baidu.com/view/1659214.htm
*3 欧拉常数
http://baike.baidu.com/view/296190.htm
或
*3 搜搜问问
http://wenwen.soso.com/z/q47171255.htm)