向量问题

Question

若使a,b,c,的终点在同一条直线上， （a,b,c,有公共始点），其中c=ma+nb，则m,n（m,n属于R）必须满足的条件是什么？

Answer 1

【1】
由题设，可设
向量OA=a,向量OB=b,向量OC=c.
且A,B,C三点共线。
∴由题设：c=ma+nb可知：
OC=mOA+nOB.①
【2】
当点O与A,B,C不共线时。
由向量加法的三角形法则可知：
OA+AB=OB.
OA+AC=OC.
代入上式①可得：
OA+AC=mOA+n(OA+AB)
(m+n-1)OA=AC-nAB.②
易知，向量AC,AB共线。
∴存在实数t,满足AC=tAB.
∴AC-nAB=(t-n)AB.
∴(m+n-1)OA=(t-n)AB.
∵O,A.B三点不共线，
∴向量OA,AB不共线。
∴必有m+n-1=0.且t-n=0.
∴此时有m+n=1.
【3】
当O,A,B,C四点共线时，
OA,OB,OC共线，
OC=mOA+nOB
=m(OB+BO+OA)+nOB
=(m+n-1)OB+mOA.
∴m+n-1=n
m=1.
同理，也可证明或n=1.
即此时必有一个为1.

Answer 2

m+n=1
abc有公共始点，终点又在一条线上。说明三向量共面，符合共面向量基本定理。