微积分的公式是？？

Question

如题所述

Answer 1

微积分基本定理描述了微积分的两个主要运算──微分和积分之间的关系。定理的第一部分，有时
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称为微积分第一基本定理，表明不定积分是微分的逆运算。[1]定理的第二部分，有时称为微积分第二基本定理，表明定积分可以用无穷多个原函数的任意一个来计算。这一部分有很多实际应用，这是因为它大大简化了定积分的计算。
该定理的一个特殊形式，首先由詹姆斯·格里高利（1638-1675）证明和出版。[2]定理的一般形式，则由艾萨克·巴罗完成证明。
微积分基本定理表明，一个变量在一段时间之内的无穷小变化之和，等于该变量的净变化。
我们从一个例子开始。假设有一个物体在直线上运动，其位置为x(t)，其中t为时间，x(t)意味着x是t的函数。这个函数的导数等于位置的无穷小变化dx除以时间的无穷小变化dt（当然，该导数本身也与时间有关）。我们把速度定义为位置的变化除以时间的变化。用莱布尼兹记法：

整理，得

根据以上的推理，x的变化──Δx，是dx的无穷小变化之和。它也等于导数和时间的无穷小乘积之和。这个无穷的和，就是积分；所以，一个函数求导之后再积分，得到的就是原来的函数。我们可以合理地推断，这个运算反过来也成立，积分之后再求导，得到的也是原来的函数。
目录 [隐藏]
1 正式表述
1.1 第一部分
1.2 第二部分
2 推论
3 例子
4 证明
4.1 第一部分
4.2 第二部分
5 推广
6 参看
7 注解
8 参考文献
9 外部链接
[编辑]正式表述

微积分基本定理有两个部分，第一部分是关于原函数的导数，第二部分描述了原函数和定积分之间的关系。
[编辑]第一部分
设f为定义在闭区间[a, b]的实数函数。设F为

所定义的函数。这样，F在区间[a, b]可导，且对于[a, b]内的任何x，有

是一个上限可变的定积分，它的值F(x)是f的无穷多个原函数的其中一个。
[编辑]第二部分
设f为定义在闭区间[a, b]的连续实数函数。设F为f的一个原函数，也就是说，它是使下式成立的无穷多个函数之一，

那么

[编辑]推论

设f为定义在闭区间[a, b]的实数函数。设F为f的一个原函数，那么，对于区间[a, b]内的所有x，有

和

[编辑]例子

计算以下积分：

在这里，f(x) = x2，是一个原函数。因此：

[编辑]证明

[编辑]第一部分
假设有

设x1和x1 + Δx为区间[a, b]中的两个数。我们有

和

两式相减，得

可以证明

（两个相邻区域的面积之和，等于两个区域合并起来的面积。）
整理，得

把上式代入(1)，得

根据积分中值定理，在区间[x1, x1 + Δx]存在一个c，使得

把上式代入(2)，得

两边除以Δx，得

注意左边的表达式是F在x1处的牛顿差商。
两边取Δx → 0的极限，

左边的表达式是F在x1处的导数的定义。

我们用夹挤定理来求另一个极限。c在区间[x1, x1 + Δx]内，因此x1 ≤ c ≤ x1 + Δx。
另外 and
所以，根据夹挤定理，

代入(3)，可得

函数f在c处连续，所以极限可以在函数里面进行。因此，我们有

证毕。
[编辑]第二部分
设f在区间[a, b]上连续，并设F为f的原函数。我们从以下表达式开始

设有数
x0, ..., xn
使得

可得

我们加上F(xi)及其相反数，这样等式仍成立：

以上表达式可用以下的和表示：

我们将使用均值定理。就是：
设F在闭区间[a, b]连续，在开区间(a, b)可导，则开区间(a, b)内一定存在c使得

可得

函数F在区间[a, b]可导，所以在每一个区间xi-1也是可导和连续的。因此，根据介值定理，

把上式代入(1)，得

根据第一部分的结论，我们有F'(ci) = f(ci)。另外，xi − xi − 1可表示为第i个小区间的Δx。

一个黎曼和的收敛数列。右上角的数是灰色矩形的面积。它们收敛于函数的积分。
注意到我们正在描述矩形的面积（长度乘以宽度），并把这些面积相加起来。每一个矩形都描述了一部分曲线的估计。同时也注意到，Δxi并不需要对于任何i都是相同的，换句话说，矩形的长度可以变化。我们要做的，是要用n个矩形来近似代替曲线。现在，当n增加而每一个矩形越来越小时，它的面积就越来越接近曲线的真实面积。
当矩形的宽度趋近与零时取极限，便得出黎曼积分。也就是说，我们取最宽的矩形趋于零，而矩形的数目趋于无穷大时的极限。
所以，我们把(2)式的两边取极限，得

F(b)和F(a)都不依赖于||Δ||，所以左面的极限仍然是F(b) - F(a)。

右边的表达式定义了f从a到b的积分。这样，我们有

证毕。
[编辑]推广

我们不需要假设 f 在整个区间是连续的。这样定理的第一部分便说明：如果 f 是区间[a, b]内的任何一个勒贝格可积的函数，x0是[a, b]内的一个数，使得 f 在 x0连续，则

在x = x0是可导的，且F'(x0) = f(x0)。我们可以把f的条件进一步降低，假设它仅仅是可积的。这种情况下，我们便得出结论：F几乎处处可导，且F'(x)几乎处处等于f(x)。这有时称为勒贝格微分定理。
定理的第二部分对于任何具有原函数F的勒贝格可积函数f都是正确的（不是所有可积的函数都有原函数）。
泰勒定理中把误差项表示成一个积分的形式，可以视为微积分基本定理的一个推广。
对于复数函数，也有一个类似的形式：假设U是C的一个开集，f: U → C是一个在U处具有全纯原函数F的函数。那么对于所有曲线γ: [a, b] → U，曲线积分可以用下式来计算：

微积分基本定理可以推广到多维空间的曲线和曲面积分，也可以推广到流形。
这个方向上的一个有力的表述是斯托克斯定理：设 M 为一个可定向分段光滑n维流形，并设ω为n−1阶M上的C1类紧支撑微分形式。如果∂M表示M的边界，并以M的方向诱导的方向为边界的方向，则

这里是外导数，它仅仅用流形的结构来定义。斯托克斯定理将德拉姆上同调和奇异链的同调联系起来。

Answer 2

等价无穷小　当x→0时， 　　sinx~x 　　tanx~x 　　arcsinx~x 　　arctanx~x 　　1-cosx~1/2*（x^2） 　　（a^x）-1~x*lna (（a^x-1)/x~lna) 　　（e^x）-1~x 　　ln(1+x)~x 　　(1+Bx)^a-1~aBx 　　[(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x 　　loga(1+x)~x/lna 　　值得注意的是，等价无穷小一般只能在乘除中替换，在加减中替换有时会出错（加减时可以整体代换，不能单独代换或分别代换）

Answer 3

dx/dt