已知二阶矩阵A，A的6次方为零矩阵，证A的平方也是零矩阵，答案只提示了用秩证明

Question

如题所述

Answer 1

证明: 由已知2阶方阵A的秩满足 0<=r(A)<=2
当r(A)=0时, A=A^2=0
若r(A)=2, 则A是可逆矩阵, A^6也是可逆矩阵, 与已知A^6=0不符.
当r(A)=1时, 存在非零2维列向量α, β 使得 A = α β^T.
( 这是一个不是很常用的结论, 但有时很能说明问题 )

因为 A^6 = (α β^T)(α β^T)(α β^T)(α β^T)(α β^T)(α β^T)
= α (β^Tα) (β^Tα) (β^Tα) (β^Tα) (β^Tα) β^T ( 利用结合律, β^Tα是一个数可提出)
= (β^Tα) ^5 α β^T
= (β^Tα) ^5 A.
由 A 非零知 (β^Tα) ^5 = 0.
所以 β^Tα = 0.

所以 A^2 = (α β^T)(α β^T) = (β^Tα) A = 0.

现在只想到这个方法, 不知道是否还有更简单的证明方法.

Answer 2

最简单的办法就是直接利用A特征值的特征值全部为零就很快很简单了

推广：n阶方阵A如果满足A^k（k>n）是零矩阵，那么A^n一定是零矩阵。追问

看不明白，而且后边推广不对吧，推不出来A是零矩阵的，A不是零矩阵也满足的

追答

这个是对的 你学过特征值的话就很快了

追问

麻烦你给证明下啦，特征值还没复习到，忘了，而且提示是用秩证明的

追答

A是零矩阵，结论显然。
现在如果A不是零矩阵，那么：
假设A^2不是零矩阵r（A^2）=1，那么显然又有r（A）=1（其他两种不可能）。
所以A和A^2的秩相等，那么得到A^2 x=0和Ax=0同解（因为Ax=0 的解一定是A^2 x=0的解），那么容易得到A^2 x=0和A^3 x=0同解，以此类推A^6 x=0和A^5 x=0同解，那么你可以得到A^6 x=0和A x=0同解，而由于我们的假设A^6 x=0（解是整个二维空间）和A x=0（它的解只是一维空间）显然不同解。所以假设不成立，所以我们得到r（A^2）只能等于0。

追问

假设A^2不是零矩阵r（A^2）=1，开头这一步，你就错了

追答

我晕，没错好不好…
那你觉得r(A^2)有可能等于2吗？

还有那个说别人误人子弟的，请你指出错误在哪里…否则请你闭嘴

Answer 3

这得分组讨论：
当R(A)=0时，成立；
当R(A)不=0时，根据R(A.B)<=min R(A，B)。R(A2)<=R(A)；R(A4)<=R(A2)；R(A6)<=R(A4)；
假设R(A2)不=0.，R(A4)不=0.，R(A6)不=0.
矛盾
的证追问

R(A2)不=0只能推出来R(A)不=0，好不啦，推不出后边的

Answer 4

靠，怪不得这么多人答，原来有60分。可惜全TM误人子弟。

恩，这个方法很好。

可以用相似标准型做，这个有点杀鸡用牛刀了。