行阶梯矩阵非零行的首非零元(个数=非零行数)所在的列是线性无关的, 且其余向量可由它们线性表示。
所以它们是A的列向量组的一个极大无关组。
所以A的列秩 = 非零行的行数
所以A的秩 = 非零行的行数
举例：
比如 A = (a1,a2,a3,a4) 经过初等行变换化成
1 2 3 4
0 0 1 5
0 0 0 0
那么 a1,a3 是线性无关的 [ 即行阶梯矩阵非零行的首非零元所在的列是线性无关的]
这个线性无关组含向量的个数是梯矩阵的非零行数
再把梯矩阵化成行简化梯矩阵
1 2 0 -11
0 0 1 5
0 0 0 0
就可能看出 a2 = 2a1, a4 = -11a1 + 5a3
即 a2,a4 可由a1,a3 线性表示
所以 a1,a3 是 a1,a2,a3,a4 的极大无关组
即 A 的列秩 = 2 (非零行数)
所以 A 的秩 = 2 (非零行数)
扩展资料：
在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说，如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。
在m*n矩阵A中，任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。
例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式 就是矩阵A的一个2阶子式。
A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作rA，或rankA或R(A)。
特别规定零矩阵的秩为零。
显然rA≤min(m,n) 易得：
若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。
由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A)≠0；不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。
由行列式的性质1(1.5[4])知，矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的。
矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};
当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。
当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。
所以它们是A的列向量组的一个极大无关组
所以A的列秩 = 非零行的行数
所以A的秩 = 非零行的行数
满意请采纳^_^追问
有点深奥，讲简单点马。
追答给你个具体例子吧
比如 A = (a1,a2,a3,a4) 经过初等行变换化成
1 2 3 4
0 0 1 5
0 0 0 0
那么 a1,a3 是线性无关的 [ 即行阶梯矩阵非零行的首非零元所在的列是线性无关的]
这个线性无关组含向量的个数是梯矩阵的非零行数
再把梯矩阵化成行简化梯矩阵
1 2 0 -11
0 0 1 5
0 0 0 0
就可能看出 a2 = 2a1, a4 = -11a1 + 5a3
即 a2,a4 可由a1,a3 线性表示
所以 a1,a3 是 a1,a2,a3,a4 的极大无关组
即 A 的列秩 = 2 (非零行数)
所以 A 的秩 = 2 (非零行数)
行阶梯矩阵非零行的首非零元(个数=非零行数)所在的列是线性无关的, 且其余向量可由它们线性表示
所以A的列秩 = 非零行的行数
所以A的秩 = 非零行的行数
扩展资料
在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说，
如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。
矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};
当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。
当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。
本回答被网友采纳没这么麻烦。首先行阶梯矩阵、最简行阶梯矩阵与原矩阵这三种矩阵都是等秩的。而行阶梯矩阵必可以化成最简行阶梯矩阵，又因为最简行阶梯矩阵非零行的列向量是线性无关的，因此它们就构成了最简行阶梯矩阵的一个最大无关组，又因为最简行阶梯矩阵与原矩阵等秩，所以矩阵的秩就等于其行阶梯矩阵非零行的个数了。
关于等秩的证明，将矩阵方程写成代数方程的形式，应该就比较容易证明了。