正方形ABCD边长为4,P为内切圆周上任一点,求PB+根号2/2PA的最小值

Question

在线等答案！
我有个解法大家看对不对？
设PB+（根号2/2倍）PA=t，则PB可以用t和PA表示，所以，而PA+PB大于等于4，计算得PA大于等于（4-t）/(1-根号2/2)，为了PB取小，PA取大，PA需要大于等于2，所以（4-t）/(1-根号2/2)大于等于2，解得t小于等于根号2+2

Answer 1

最小值√ 10，详情如图所示

Answer 2

答案是：2√2+2√3-2
因为要使得其值最小，应使PB取最小，PA取最大，特殊化比较好求解。本回答被网友采纳

Answer 3

=========================================

已知P为正方形ABCD内一点,且PA+PB+PC的最小值为根号2加根号6,求正方形边长?过程要详细,谢谢

2015-11-03

已知P为正方形ABCD内一点,且PA+PB+PC的最小值为根号2加根号6,求正方形边长?
过程要详细,谢谢

将三角形ABP绕点B逆时针旋转60度,A到A撇,P到P撇.PA+PB+PC就转换成了A撇+PP撇+PC,根据两点之间线段最短,A撇,P撇,P,C共线时有最小值.即线段A撇C=根号2+根号6.
过A撇作A撇H垂直直线BC于点H.则有角HBA撇=30度.
设A撇H=x,则HB=根号3x,A撇B等于2x（正方形边长）,
在直角三角形A撇HC中应用勾股定理.
x^2+(2x+根号3x)^2=（根号2+根号6）^2.
易得 x=1.所以正方形边长为2.

========================

如图，正方形ABCD内接于圆，P为弧AD上任一点，求证PB=PD+根号2PA

最佳答案

2018-11-21 回答

设正方形ABCD边长为a，在△PAB中，∠APB=45°，由余弦定理得：a=PA+PB-2PAPBcos45°，a=PA+PB-√2PAPB；在△PAD中，∠APD=135°，由余弦定理得：a=PA+PD-2PAPDcos135°，a=PA+PD+√2PAPD；则PA+PB-√2PAPB=PA+PD+√2PAPD，PB-PD=√2PAPB+√2PAPD，(PB-PD)(PB+PD)=√2PA(PB+PD)，PB-PD=√2PA，PB=PD+√2PA。

托勒密定理

=================================================

专题：加权线段和即“PA+k·PB”型的最值问题

我是柯西不等式 7月9日

【知识储备】

线段最值问题常用原理：

①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边；

②两点间线段最短；

③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；

 【模型初探】

（一）点 P 在直线上运动 “胡不归”问题

如图 1-1-1 所示，已知sin∠MBN=k,点P 为角∠MBN其中一边BM 上的一个动点，点 A 在射线BM、BN 的同侧，连接AP,则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定?

分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，过点P作PQ⊥BN垂足为Q，则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ,∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值(如图1-1-2)，即 A、P、Q三点共线时最小（如图 1-1-3），本题得解。

思考：当 k 值大于1 时，“PA+k·PB”线段求和问题该如何转化呢？

【模型初探】

（二）点 P在圆上运动“阿氏圆”问题

如图所示 2-1-2，⊙O的半径为r,点A、B都在⊙O 外，P为⊙O 上的动点，

已知r=k·OB.连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？

分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，（如图2-1-2）在线段 OB上截取OC

使OC=k·r,则可说明△BPO与△PCO相似，即 k·PB=PC。∴本题求“PA+k·PB”的最小值

转化为求“PA+PC”的最小值，即 A、P、C三点共线时最小（如图 2-1-3），本题得解

==============================

Answer 4

应该是根号10

Answer 5

醉了，这个是阿氏圆