x^ n-1=?

Question

如题所述

Answer 1

x^n - 1 = (x - 1)(x^(n-1) + x^(n-2) + ... + x + 1)
复数域上x^n-1=（x-ε)(x-ε^2)(x-ε^3)...(x-ε^n-1)(x-1)
其中ε=cos(2π/n)+i sin(2π/n),ε^n=1

首先，我们可以使用欧拉公式将复数ε表示为：

ε = cos(2π/n) + i sin(2π/n)

我们要证明的是：

x^n - 1 = (x - ε)(x - ε^2) ... (x - ε^(n-1))(x - 1)

我们可以将左边的多项式使用差的平方公式进行分解：

x^n - 1 = (x - 1)(x^(n-1) + x^(n-2) + ... + x + 1)

现在我们需要证明的是：

x^(n-1) + x^(n-2) + ... + x + 1 = (x - ε)(x - ε^2) ... (x - ε^(n-1))

为了证明这个等式，我们可以使用数学归纳法。首先，当n=2时，我们有：

x + 1 = (x - ε)(x - 1)

这个等式可以通过将右边的两个因式乘起来展开来验证。现在我们假设等式对于n=k成立，我们需要证明等式对于n=k+1也成立。我们有：

x^k + x^(k-1) + ... + x + 1 = (x - ε)(x - ε^2) ... (x - ε^k)

将上式乘以x - 1，我们得到：

x^(k+1) - 1 = (x - ε)(x - ε^2) ... (x - ε^k)(x - 1)

这表明当n=k+1时等式也成立。因此，通过归纳法，我们证明了原等式：

x^(n-1) + x^(n-2) + ... + x + 1 = (x - ε)(x - ε^2) ... (x - ε^(n-1))

成立，从而证明了：

x^n - 1 = (x - ε)(x - ε^2) ... (x - ε^(n-1))(x - 1)

注意，这里的ε是一个n次单位复数根，因此ε^n = 1。接下来，我们可以进一步化简右边的多项式，使用复数运算将它写成一个乘积的形式。我们有：

x^n - 1 = (x - ε)(x - ε^2) ... (x - ε^(n-1))(x - 1)

= (x - 1)(x - ε)(x - ε^2) ... (x - ε^(n-1))

= (x - 1)(x - cos(2π/n) - i sin(2π/n))(x - cos(4π/n) - i sin(4π/n)) ... (x - cos(2π(n-1)/n) - i sin(2π(n-1)/n))

= (x - 1)(x - (cos(2π/n) + i sin(2π/n)))(x - (cos(4π/n) + i sin(4π/n))) ... (x - (cos(2π(n-1)/n) + i sin(2π(n-1)/n)))

我们注意到每个因式都是一个复数减去实数的形式，因此我们可以使用复共轭来简化这个乘积。具体地，我们有：

(x - 1)(x - (cos(2π/n) + i sin(2π/n)))(x - (cos(4π/n) + i sin(4π/n))) ... (x - (cos(2π(n-1)/n) + i sin(2π(n-1)/n)))

= (x - 1)(x - (cos(2π/n) + i sin(2π/n)))(x - (cos(4π/n) + i sin(4π/n))) ... (x - (cos(2π(n-1)/n) + i sin(2π(n-1)/n)))(x - (cos(2π/n) - i sin(2π/n)))(x - (cos(4π/n) - i sin(4π/n))) ... (x - (cos(2π(n-1)/n) - i sin(2π(n-1)/n)))

现在我们可以对每个复共轭对进行配对，得到一个实数因子。我们有：

(x - 1)(x^2 - 2cos(2π/n) x + 1)(x^2 - 2cos(4π/n) x + 1) ... (x^2 - 2cos(2π(n-1)/n) x + 1)

= (x - 1)(x^2 + 2cos(2π/n) x + 1)(x^2 + 2cos(4π/n) x + 1) ... (x^2 + 2cos(2π(n-1)/n) x + 1)

这个等式可以通过展开每个二次因式来验证。我们注意到这里的因式都是实数，因此它们可以被进一步分解为两个一次因式的乘积。因此，我们得到：

x^n - 1 = (x - 1)(x - 2cos(2π/n))(x - 2cos(4π/n)) ... (x - 2cos(2π(n-1)/n))

这是一个非常有用的公式，它告诉我们如何将一个n次多项式分解为一次因式的乘积。其中，每个一次因式的根都是复数 ε^k，k=0,1,2,...,n-1，它们构成了单位圆上的n个点。因此，这个公式也被称为单位根公式。

我们可以进一步验证这个公式。当 x=1 时，右边的乘积变成了 (1-ε)(1-ε^2)...(1-ε^(n-1))。由于 ε^n=1，因此 ε^k 和 ε^(k+n) 是相等的，因此右边的乘积等于 (1-1)^n=0，这与左边的值 x^n-1=0 相符。

另外，当 x=ε^k 时，右边的乘积变成了 (ε^k - ε)(ε^k - ε^2)...(ε^k - ε^(n-1))(ε^k - 1)。由于 ε^k 和 ε^j，其中 j=0,1,2,...,n-1，构成了单位圆上的n个点，因此右边的乘积等于 ε^k (ε^k-ε)(ε^k-ε^2)...(ε^k-ε^(n-1))(ε^k-1)。由于 ε^k-ε, ε^k-ε^2, ..., ε^k-ε^(n-1) 是 n 个不同的非零复数，因此它们的乘积等于 (ε^k-ε)(ε^k-ε^2)...(ε^k-ε^(n-1)) 的平方根，即 ε^(1+2+...+n-1)=ε^n-1。因此，右边的乘积等于 ε^k (ε^n-1)(ε^k-1)=0。这也与左边的值 x^n-1=ε^(kn)-1=0 相符。

因此，我们证明了 x^n-1=(x-ε)(x-ε^2)...(x-ε^n-1)(x-1)，其中 ε=cos(2π/n)+isin(2π/n) 是 n 次单位根。