根据相关法律法规规定，第四次签订劳动合同，员工可以要求签订无固定期限劳动合同。如果公司不与员工续签任何类型的劳动合同，公司应该支付经济补偿金，具体标准是每工作一年补偿一个月工资，如果公司不与员工签订无固定期劳动合同，当地劳动仲裁机构或者法院一般会裁决用人单位与劳动者签订无固定期限的劳动合同。
法律分析
第四次签订劳动合同只要用人单位与劳动者协商一致，可以订立无固定期限劳动合同。如果劳动合同是续签，在第三次签订劳动凳的时候就应该是无固定期限劳动合同了，而且按照一般做法，会让员工签一份自动放弃签订无固定期限劳动合同的声明，如果公司没有让员工签署这个声明的话，员工也没有主张签订固定期限劳动合同，那么就应该签订无固定期限劳动合同。根据相关法律法规规定，订立劳动合同应当遵循平等自愿、协商一致的原则。只要用人单位与劳动者协商一致，没有采取胁迫、欺诈、隐瞒事实等非法手段，符合法律的有关规定，就可以订立无固定期限劳动合同。在法律规定的情形出现时，劳动者提出或者同意续订劳动合同的，应当订立无固定期限劳动合同。法律对无固定期限劳动合同的签订条件作了严格的规定，当事人一方并不能随意的要求签订或者拒绝签订无固定期限劳动合同。
法律依据
《中华人民共和国劳动合同法》 第十四条 无固定期限劳动合同，是指用人单位与劳动者约定无确定终止时间的劳动合同。用人单位与劳动者协商一致，可以订立无固定期限劳动合同。有下列情形之一，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同：（一）劳动者在该用人单位连续工作满十年的；（二）用人单位初次实行劳动合同制度或者国有企业改制重新订立劳动合同时，劳动者在该用人单位连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年的；（三）连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的。用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。
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