y=b0+B1x+e,r=?

Question

一元线性回归，已知b0,b1,求相关系数r

Answer 1

一元线性回归方程为 $y = b_0 + b_1 x + e$，其中 $b_0$ 和 $b_1$ 是回归系数，$e$ 是误差，$r$ 是相关系数。相关系数 $r$ 的计算公式为：
$$r = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2} \sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2}}$$
其中，$n$ 是样本数量，$x_i$ 和 $y_i$ 是第 $i$ 个样本的自变量和因变量，$\bar{x}$ 和 $\bar{y}$ 分别是自变量和因变量的平均值。
因为已知 $b_0$ 和 $b_1$，我们可以利用它们来计算 $\bar{y}$ 和 $y_i - \bar{y}$。一元线性回归方程可以写成：
$$y_i = b_0 + b_1 x_i + e_i$$
其中，$e_i$ 是第 $i$ 个样本的误差。将 $b_0$ 和 $b_1$ 代入上式，得到：
$$\bar{y} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(b_0 + b_1 x_i + e_i) = b_0 + b_1 \bar{x} + \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}e_i$$
$$y_i - \bar{y} = b_1 (x_i - \bar{x}) + e_i$$
然后，代入相关系数的计算公式，即可得到：
$$r = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(b_1 (x_i - \bar{x}) + e_i)}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2} \sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}(b_1 (x_i - \bar{x}) + e_i)^2}}$$
也可以将上式展开，化简后得到：
$$r = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2} \sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}(y_i - \hat{y})^2}}$$
其中，$\hat{y} = b_0 + b_1 x_i$ 是根据回归方程计算出的 $y_i$ 的估计值。