在代数方面，刘徽正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则，改进了线性方程组的解法。在几何方面，提出了"割圆术"，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法。他利用割圆术科学地求出了圆周率π=3.1416的结果。
他用割圆术，从直径为2尺的圆内接正六边形开始割圆，依次得正12边形、正24边形，割得越细，正多边形面积和圆面积之差越小。
刘徽的个人成就：
1、用数的同类与异类阐述了通分、约分、四则运算，以及繁分数化简等的运算法则；在开方术 的注释中，他从开方不尽的意义出发，论述了无理方根的存在，并引进了新数，创造了用十进分数无限逼近无理根的方法。
2、在筹式演算理论方面， 先给率以比较明确的定义，又以遍乘、通约、齐同等三种基本运算为基础，建立了数与式运算的统一的理论基础，他还用“率”来定义中国古代数学中的“方程”，即现代数学中线性方程组的增广矩阵。
3、在勾股理论方面 逐一论证了有关勾股定理与解勾股形的计算原理，建立了相似勾股形理论，发展了勾股测量术，通过对“勾中容横”与“股中容直”之类的典型图形的论析，形成了中国特色的相似理论。
刘徽在他的《九章算术》“圆田术注”中，论证了圆面积公式，给出了著名的圆周率计算方法——“割圆术”，并利用它计算出在当时相当精确的圆周率值。割圆术也成为数学史上伟大的创造之一。
刘徽从圆内接正六边形开始，使边数逐次加倍，作出正十二边形、正二十四边形…，并依次计算出它们的面积，这些结果将逐渐逼近圆面积，这样就可以求出圆周率的值，这种方法被称为刘徽割圆术。用刘徽的话来说，“割之弥细，失之弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”意思就是说把圆周分得越细，即圆内接正多边形的边数越多，用它的面积去代替圆面积，就丢失的越少。不断地分割下去，让边数不断地增多，那么边数无限多的正多边形的面积就与圆面积相等了。刘徽巧妙地利用极限思想，化“曲”为“直”，化“无限”为“有限”，对圆面积公式S＝1/2•CR作了相当严格的逻辑证明。利用相关的结果，在当时的计数方法、计算法则、计算工具等均不像今天这样方便的条件下，刘徽凭着他深刻的洞察力和执着钻研的精神，进行着艰苦的数字计算。推算到正192边形时，得出π＝3.14，或π＝157/50；推算到正3072边形时，可得到π＝3927/1250(≈3.1416)，这在当时是相当精确的结果。
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