以前日本还有天皇的时候，天皇想出去玩了。但皇宫里不能没人啊。所以天皇就封了一个官叫留守官，他的责任就是给天皇看家。别人里看到皇宫里只有留守官，就知道天皇不在了，就是天皇不在家的。慢慢的留守就变成主人不在家的意思了。
这段内容来自百度贴吧一个相同问题下的讨论，不知是否有考据，但我觉得可信度蛮高。因为我国古代皇帝出行也会指定留守人员，也设立了一个叫“留守”的职位（详戳链接跳转百度百科了解）。
现代日语中，“留守”也含有以上两个完全相反的意思，一个是原意的“驻留看家”（也可以是看其他地方，下同），比如“留守を预かる ”、“娘に留守を頼んで出かける”；一个就是演变后的，您所提到的“不在家”这层含义。但这层含义其实也说不上和汉语完全相反。
虽然我们一般使用“留守”这个汉语词汇时不会意识到，但这个词其实也包含有“重要/主体人物不在”这一信息。来看百度百科对于汉语中“留守”意思的部分解释：
居留下来看管。
清 吴骞《扶风传信录》：“ 仲仙北征，伯叔留守故居。”
郁达夫《出奔》：“﹝董玉林﹞向立在岸上送他们出发、替他们留守的长工，嘱咐了许多催款、索利、收取花息的琐事。”
2.指军队进发时，留驻部分人员以为守备。
3.部队、机关等离开时,部分人员在原驻地担任守卫、联系等工作。
您注意看我加粗的部分，不难发现都是“重要/主体人物不在，其余部分/某个人员留守”。像我们平时说的“留守儿童”“留守妇女”也是“家里父母”“一家之主”不在，“儿童”“妇女”留守的情况。
那么日语里“留守”其实也是这样的。
しかし、2の留守は「外出して家に谁もいない」という意味ではありません。あなたが访ねた人がその家に居なければ、その人は「留守だった」という事になります。例えば、あなたがAさんを访ねたとします。しかしAさんが家に居なければ、Aさんは留守だったという事になります。この场合、たとえ他の人がこの家に居ても、「Aさんは留守だった」と言えるのです。
（引自雅虎上的一段问答）
这段话就是说，（当表示不在家时）“留守”指的也不是就说“家里谁都没有”，只是说你要找的那个人不在。比如你要去找A，A不在家，那即便他父母或者其他人在家，也会跟你讲“Aさんは留守だった”。
大概就是这么一个演变吧。