一、损伤变量的定义
利用损伤理论来研究问题的主要步骤为：首先定义一个表征损伤的合适的状态参量——损伤变量，然后根据外载的情况，确定研究对象在外载作用下的损伤演化方程和考虑损伤的本构关系，最后根据相应的初、边值条件求解物体内某点的应力应变场和整体损伤场。因此损伤变量的定义是基础，正确、合理的损伤变量不仅能够使问题简化，而且其损伤演化方程和本构方程也易于建立并且具有明确的物理意义。所以，损伤变量的定义在冲击损伤模型的研究中具有基础和根本性的地位。下面对几种常见的岩石冲击理论模型中损伤变量的定义方法进行分析、比较。
Kipp-Grady（K-G）损伤模型认为岩石中含有大量的原生裂纹，这些裂纹的长度及其方位的空间分布是随机的。在外载作用下，其中的一些裂纹被激活并扩展。其损伤变量D定义为（杨军，1996）
岩石断裂与损伤
其中：Cg为裂纹扩展速度，设为一常数；k、m为材料常数；ε为体积应变；t为时间。同时，如果设V（t）、-V（t）、N（t）分别为单条裂纹影响的岩石体积、单条裂纹影响的岩石体积的平均值、岩石中含有的裂纹数目，式（13-1）可以表示为：D（t）=-V（t）N（t），由此可见损伤变量等于受损岩石的体积，在K G模型中，损伤变量只是与微观量有关，并没有同材料的宏观模量发生联系。其中：Cg为裂纹扩展速度，设为一常数；k、m为材料常数；ε为体积应变；t为时间。同时，如果设V（t）、-V（t）、N（t）分别为单条裂纹影响的岩石体积、单条裂纹影响的岩石体积的平均值、岩石中含有的裂纹数目，式（13-1）可以表示为：D（t）=-V（t）N（t），由此可见损伤变量等于受损岩石的体积，在K G模型中，损伤变量只是与微观量有关，并没有同材料的宏观模量发生联系。其中：Cg为裂纹扩展速度，设为一常数；k、m为材料常数；ε为体积应变；t为时间。同时，如果设V（t）、-V（t）、N（t）分别为单条裂纹影响的岩石体积、单条裂纹影响的岩石体积的平均值、岩石中含有的裂纹数目，式（13-1）可以表示为：D（t）=-V（t）N（t），由此可见损伤变量等于受损岩石的体积，在K G模型中，损伤变量只是与微观量有关，并没有同材料的宏观模量发生联系。其中：Cg为裂纹扩展速度，设为一常数；k、m为材料常数；ε为体积应变；t为时间。同时，如果设V（t）、-V（t）、N（t）分别为单条裂纹影响的岩石体积、单条裂纹影响的岩石体积的平均值、岩石中含有的裂纹数目，式（13-1）可以表示为：D（t）=-V（t）N（t），由此可见损伤变量等于受损岩石的体积，在K G模型中，损伤变量只是与微观量有关，并没有同材料的宏观模量发生联系。其中：Cg为裂纹扩展速度，设为一常数；k、m为材料常数；ε为体积应变；t为时间。同时，如果设V（t）、-V（t）、N（t）分别为单条裂纹影响的岩石体积、单条裂纹影响的岩石体积的平均值、岩石中含有的裂纹数目，式（13-1）可以表示为：D（t）=-V（t）N（t），由此可见损伤变量等于受损岩石的体积，在K G模型中，损伤变量只是与微观量有关，并没有同材料的宏观模量发生联系。其中：Cg为裂纹扩展速度，设为一常数；k、m为材料常数；ε为体积应变；t为时间。同时，如果设V（t）、-V（t）、N（t）分别为单条裂纹影响的岩石体积、单条裂纹影响的岩石体积的平均值、岩石中含有的裂纹数目，式（13-1）可以表示为：D（t）=-V（t）N（t），由此可见损伤变量等于受损岩石的体积，在K G模型中，损伤变量只是与微观量有关，并没有同材料的宏观模量发生联系。
Chen E P和Taylor L M（1984）在K-G模型的基础上引入Budiansky B和O'connell R J关于裂纹材料的裂纹密度Cd和有效泊松比与损伤变量D的关系，建立了TCK损伤模型（Chen E P et al.，O'connell R J et al.，1974；Yang R，1987），损伤变量与材料的宏观模量关系如式（13-2）所示：
岩石断裂与损伤
Budiansky B和O'connell R J用自洽方法获得了含随机分布扁平裂纹裂隙体的宏观等效模量表达式：
岩石断裂与损伤
式中：、K，、E，、G，、μ分别为未受损伤和已损伤岩石的体积模量、弹性模量，剪切模量和泊松比；Cd为裂纹密度；D为损伤变量。
Yang等人建立的损伤模型认为，岩石中裂纹的起裂与扩展是由塑性应变决定的，当岩石中某点的塑性应变大于某临界值时，原有裂纹起裂、扩展。裂纹的扩展，导致岩石损伤，该模型定义的损伤因子D为（O'connell R J et al.，1974）：D=1-exp（S2），岩石损伤前后的弹性常数之间有如下关系：
岩石断裂与损伤
式中：E、G、μ分别为未损伤岩石的弹性模量、剪切模量和泊松比，带上标的为损伤岩石中的量。在此模型中岩石损伤前后的弹性常数与损伤变量之间具有明确的关系。
上述损伤变量的定义不便于工程应用，工程实际中常采用一些简单明了的损伤变量定义方法。
（1）由损伤面积来定义损伤变量：如果由于分布的微裂纹和微空隙的形成与扩展，使材料的横截面积A减小到有效承载面积A*，则损伤变量D的定义为（余天庆等，1993）
岩石断裂与损伤
（2）按弹性模量降低定义损伤变量：设无损伤时材料的弹性模量为E，因损伤后有效弹性模量变为，则损伤变量D定义为（戴俊，2002）
岩石断裂与损伤
由于岩石的弹性模量可由试验直接测得，所以损伤变量很容易定量化，该定义在实际中得到了较为广泛的应用。
（3）根据应力波衰减定义的损伤变量：当材料受损伤以后，由于其微观结构的变化，便会引起在材料内部传播的弹性波速的变化，由此可定义材料的损伤为
岩石断裂与损伤
其中v、分别为材料损伤前后的弹性波速。
（4）由分形维数定义的损伤变量：杨军等人的研究工作表明（杨军等，1999）：岩石中裂纹的分布是一个分形，裂纹分形维数的物理意义可以理解为岩石中裂纹充满空间程度的参量，岩石损伤的过程也是分形维数增加的过程。损伤变量和分形维数之间有如下关系：
岩石断裂与损伤
式中：β为形状影响因子，0＜β＜1；Rf为裂纹的平均半径；Df为裂纹的分形维数。
由于上述损伤模型都是建立在弹性范围内的，所以也称弹性损伤理论，材料弹性常数之间固有的关系仍然成立（徐芝纶，1982）：
岩石断裂与损伤
在工程实际中，如果选取以应力波的衰减来定义损伤变量，不但能够反映出材料的逐渐劣化过程，而且损伤参数的获得也比较容易。假设在损伤变化过程中不考虑材料密度的变化，利用应力波衰减定义的损伤变量与以弹性模量的变化定义的损伤变量一致，即
岩石断裂与损伤
二、损伤演化方程的建立
在冲击载荷的作用下岩石的破坏主要与微裂纹的拉伸激活有关。岩石冲击实验和超声波实验研究揭示了应力波在损伤岩石中传播时的衰减特性，即随着损伤的不断增加，应力波衰减愈大，表现为衰减系数的不断增加，因此可以认为衰减系数α和损伤耗散能YD之间的关系式反映了损伤演化的基本规律：
岩石断裂与损伤
其中：Kα是拟合常数；α0可以认为是岩石介质的初始衰减系数，随着应力波的传播和损伤的演化，介质的衰减系数增加，其损伤程度越来越大。损伤参数与衰减系数间的关系为线性关系，即
岩石断裂与损伤
式中A、B为材料常数，将式（13-12）和式（13-13）写成导数形式为
岩石断裂与损伤
式中C是材料常量（C=1/B）。式（13-14）和式（13-15）为体积拉伸下的损伤演化方程。
体积压缩状态下的损伤演化方程为
岩石断裂与损伤
式中：λ是损伤敏感参数；是压缩塑性功率；D是拉伸损伤。
三、含损伤的本构方程
冲击损伤模型本质上是一种弹性损伤模型，在体积拉伸状态下，其应力应变关系可以表示为（杨军等，1999）
岩石断裂与损伤
将上式写成偏量部分和体积部分的率形式：
岩石断裂与损伤
式中：K和G为损伤岩石的体积模量和剪切模量；D为损伤参数；eij为应变偏量张量；δij为单位张量。式（13-14）、式（13-15）、式（13-18）和式（13-19）构成了冲击损伤模型的封闭方程。
体积压缩状态下采用理想弹塑性模型，屈服强度服从与应变率有关的Mohr-Coulomb准则，即
岩石断裂与损伤
其中：C1是静态屈服强度；C2是应变率参数；为等效塑性应变率；D是拉伸损伤；C3是围压常数；P是压力；σ1、σf是最大主应力和断裂应力。
四、损伤判据的建立
采用最大主应力准则和体积应力准则，可联合判断是否产生损伤累积。材料单元只要满足最大主应力准则就发生断裂损伤。如果材料单元断裂且处于体积拉伸状态则产生损伤累积；而在体积压缩状态下，如果最大主应力准则满足则置压缩强度Y=0，否则压缩强度服从与应变率有关的Mohr-Coulomb准则，即
岩石断裂与损伤
式中：C1、C2和C3为常数。在拉、压两种情况下，只要损伤达到1，单元即丧失承载能力，压力和偏应力均被置为零。