费马点的证明
如图，在△ABC中，P为其中任意一点。连接AP，BP，得到△ABP。
合并图册
合并图册(2张)
以 点B为旋转中心，将 △ABP逆时针旋转 60°，得到△EBD
∵旋转60°，且BD=BP，
∴△DBP 为一个等边三角形
∴PB=PD
因此， PA+PB+PC=DE+PD+PC
由此可知当E、D、P、C 四点共线时， 为PA+PB+PC最小
若E、D、P共线时，
∵等边△DBP
∴∠EDB=120°
同理，若D、P、C共线时，则 ∠CPB=120°
∴P点为满足∠APB=∠BPC=∠APC=120° 的点。
历史背景
皮耶·德·费马（Pierre de Fermat）是一个17世纪的法国律师，也是一位业余数学家。之所以称业余，是由于皮耶·德·费马具有律师的全职工作。他的姓氏根据法文与英文实际发音也常译为“费尔玛”（注意“玛”字）。费马最后定理在中国习惯称为费马大定理，西方数学界原名“最后”的意思是：其它猜想都证实了，这是最后一个。
著名的数学史学家贝尔（E. T. Bell）在20世纪初所撰写的著作中，称皮耶·德·费马为”业余数学家之王“。贝尔深信，费马比皮耶·德·费马同时代的大多数专业数学家更有成就，然而皮耶·德·费马并未在其他方面另有成就，本人也渐渐退出人们的视野，考虑到17世纪是杰出数学家活跃的世纪，因而贝尔认为费马是17世纪数学家中最多产的明星。
费马点问题最早是由法国数学家皮埃尔·德·费马在一封写给意大利数学家埃万杰利斯塔·托里拆利（气压计的发明者）的信中提出的。托里拆利最早解决了这个问题，而19世纪的数学家斯坦纳重新发现了这个问题，并系统地进行了推广，因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点，相关的问题也被称作费马-托里拆利-斯坦纳问题。这一问题的解决极大推动了联合数学的发展，在近代数学史上具有里程碑式的意义。
简单思路是这样的：
△ABC的∠A＞120°，P为任一点 （这里原来的证明有个漏洞，它说‘P为△ABC内部任一点’，没给出为什么不能象我先前胡言的那样在外面。好在我试了下在外面也可这样证法）
旋转 △BAP 至 B'A 与 CA 一直线，成 △B'AP' 全等于 △BAP
因∠A＞120°，故∠B'AB＜60°，
亦得∠PAP'＜60°；从而等腰三角形P'AP
中∠AP'P＞60°，故 AP＞PP'
则 CP + PB + PA ＞ CP + PP' + BP'＞ CA + AB'
即 CP + PB + PA ＞＞ CA + AB
费马点背景
浅谈三角形的费马点
法国著名数学家费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．人们称这个点为“费马点”．这是一个历史名题，近几年仍有不少文献对此介绍．
本文试以课本上的习题、例题为素材，根据初中学生的认知水平，针对这个问题拟定一则思维训练材料，引导学生通过自己的思维和学习，初步了解这个问题的产生、形成、推理和论证过程及应用．
1．三角形的费马点
已知：如图1，ΔABD、ΔAEC都是等边三角形．求证：BE=DC．
这个题目证明比较容易，下面提几个问题供同学们思考．
思考1 在ABC的BC边再作等边三角形BCF，并连接AF如图2，可得到什么结论？是否有
(1)BE=CD=AF？
(2)BE、CD、AF三线交于一点O？
(3)∠AOB=∠BOC=∠COA=120°？
思考2 如将原题的图1改成图3，并连接DE，还能得到什么结论？
(1)原题的结论仍然成立：BE=CD．
(2)若∠ADC=120°，则D点在等边ΔAEC的外接圆上．D、B、E共线，由BE=CD有：AD＋CD=DE；若∠ADC≠120°，易证AD＋DC＞DE．得到下列命题．
定理1 等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．
思考3 根据上述定理，在图2中还有
(1)OA＋OB＋OC=AF．
(2)在ΔABC内另取一点O，总有
O′A＋O′B＋O′C＞AF，
即 OA＋OB＋OC＜O′A＋O′B＋O′C．
(3)点O是ΔABC所在平面上到三个顶点距离之和为最小的点．
定理2 三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点．
2．水管线路最短问题
如图4，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄供水，修在河边什么地方，可使所用水管最短？
这是一个很有意义的应用题，在公路，自来水或煤气管道线路设计等方面都有一定价值．假如不是由水泵站C直接向A、B两地供水，那么本例用“对称点”方法所确定的线路CA＋CB并不是最短线路．易知当A、B、C三点所确定的三角形各角都小于120°时，在该三角内必存在费马点O有OA＋OB＋OC＜CA＋CB，可见水管总长还可以更小一些．于是水管线路最短问题即为A、B两点在直线L同侧，点C为L上一个动点的费尔马问题，下面分两类情况讨论这个问题．
(1)AB与L的夹角小于30”．
如图5，以AB为一边作正三角形ABM，并作ΔABM的外接圆．
当所作外接圆与直线L相离或相切时，从M点作直线L的垂线，交圆于O点，垂足为C．C即为水泵站位置，先把水引到O点，再从O点分别向A、B两地供水，此时点O 更短，即在L上另选一点都不会改进．
优的了，因为∠ABC≥120°，费马点就是点C也就是在C建水泵站直接向A、B两地供水．如果水泵站C选在P点的左侧，如图7，此时△ABC的费马点O必在在点P上，故L上点P的左侧不会有更好的点可选，同理Q点的右边也找不出更好的点．
(2)AB与L的夹角不小于30°．
如图8，若A点离直线L较近，作AC⊥L交于C，点C为水泵站位置，因为∠CAB≥120°，点A即为ΔABC的费马点，此时水管总长为CA＋AB．在L上任意另取一点都不会再有改进．显然在点C的左侧取一点C′时，ΔABC′的费马点仍在A点，易知 弧上(因为ΔABM的外接圆不会与L相交或相切)，故必有；O′A+O′B+O′C=O′M+O′C＞CA+AM=CA＋AB．
综上所述水管的最短线路有三种分别为“Y”字型“V”字型及“厂”字型．
3．两个应用题
文(4)谈到95年全国高考命题组，对应用题选编时曾考虑过如下两个题目：
(1)一条河宽1km，两岸各有一座城市A与B，A与B的直线距离是4km，今须铺设一条电缆连A与B，已知地下电缆修建费用为2万元/km，水下电缆为4万元/km，假定河两岸是直线，问应如何架设电缆方可使总施工费用达到最小？
(2)有四个点位于一个正方形的四个顶点上，须用线将它们连成一个网络(即从任何一点出发，可沿此网络中的线达到别的点)，问此网络应以什么方式连接这四个点，方可使所用的线总长最小？
汤建新，赵汉群曾在《中学数学》(湖北)1997．10月刊上发文(5)对(1)题作了详细讨论，并给出一个很巧妙的解答，使初中学生可以理解．用费马点也可这样去解，因为水底电缆每千米修建费为地下的两倍，如图9，实际上即为在河岸直线L上找一点C使AC＋2BC最小，取B点关于L的对称点B′，因为BC=B′C故所求点C(电缆的下水点)即为ΔABB′的费马点，取∠BCA=120°即得．
如图，在△ABC中，P为其中任意一点。连接AP，BP，得到△ABP。
合并图册
合并图册(2张)
以 点B为旋转中心，将 △ABP逆时针旋转 60°，得到△EBD
∵旋转60°，且BD=BP，
∴△DBP 为一个等边三角形
∴PB=PD
因此， PA+PB+PC=DE+PD+PC
由此可知当E、D、P、C 四点共线时， 为PA+PB+PC最小
若E、D、P共线时，
∵等边△DBP
∴∠EDB=120°
同理，若D、P、C共线时，则 ∠CPB=120°
∴P点为满足∠APB=∠BPC=∠APC=120° 的点。
历史背景
皮耶·德·费马（Pierre de Fermat）是一个17世纪的法国律师，也是一位业余数学家。之所以称业余，是由于皮耶·德·费马具有律师的全职工作。他的姓氏根据法文与英文实际发音也常译为“费尔玛”（注意“玛”字）。费马最后定理在中国习惯称为费马大定理，西方数学界原名“最后”的意思是：其它猜想都证实了，这是最后一个。
著名的数学史学家贝尔（E. T. Bell）在20世纪初所撰写的著作中，称皮耶·德·费马为”业余数学家之王“。贝尔深信，费马比皮耶·德·费马同时代的大多数专业数学家更有成就，然而皮耶·德·费马并未在其他方面另有成就，本人也渐渐退出人们的视野，考虑到17世纪是杰出数学家活跃的世纪，因而贝尔认为费马是17世纪数学家中最多产的明星。
费马点问题最早是由法国数学家皮埃尔·德·费马在一封写给意大利数学家埃万杰利斯塔·托里拆利（气压计的发明者）的信中提出的。托里拆利最早解决了这个问题，而19世纪的数学家斯坦纳重新发现了这个问题，并系统地进行了推广，因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点，相关的问题也被称作费马-托里拆利-斯坦纳问题。这一问题的解决极大推动了联合数学的发展，在近代数学史上具有里程碑式的意义。