无穷小的阶数怎么比较？

Question

如题所述

Answer 1

一、x-->0，x是一阶无穷小，x^2是二阶无穷小，则x^3是三阶无穷小。

无穷小量，是极限为零的量，即若x→0时，limf(X)=0，则称f(X)是当x→0时的无穷小量，简称无穷小。同阶无穷小量，其主要对于两个无穷小量的比较而言，意思是两种趋近于0的速度相仿。

同阶无穷小：

如果lim F(x)=0,lim G(x)=0,且lim F(x)/G(x)=c，c为常数并且c≠0，则称F(x)和 G(x)是同阶无穷小。例如：

计算极限：lim（1-cosx）/x^2在x→0时，得到值为1/2，则说在x→0时，（1-cosx）与x^2是同阶无穷小。

例如，因为：

所以，在 x→3 的过程中，x2-9 与 x-3 是同阶无穷小。意思是在x→3 的过程中，(x2-9)→0 与 (x-3)→0的快慢一样。

无穷小的比较：

观察无穷小比值的极限。

两个无穷小比值极限的各种不同情况，反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度。在x→0 的过程中，x→0 比 3x→0 “快些”。

反过来 3x→0 比 x→0 “慢些”，而 sin x→0 与 x→0 “快慢相仿”。

为了应用上的需要，我们就无穷小之比的极限存在或为无穷大时，给出下面的比较定义。

定义，设 α 及 β 都是同一个自变量的变化过程中的无穷小。

如果  ，就说β是比α高阶的无穷小，记为  

如果  ，就说β是比α 低阶的无穷小。

如果  ，就说β与α 是同阶无穷小。