向大家请教苦恼多年的数学难题

Question

关于切比雪夫多项式的研究

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Answer 1

第四节 最佳平方逼近多项式�

一 内积与正交多项式�

定义1 设 ， 是〔a，b〕上的权函数，记

(1)�

称为函数 上带权 的内积。�

内积具有以下性质：�

① 对称性 ；�

② 齐次性 ；�

③ 可加性 ；�

④ 非负性 ，且 当且仅当 ， �x∈〔a，b〕。

定义2 如果内积 (2)则称函数f，g在〔a，b〕上带权 正交。

例如，三角函数系 是 上带权 ≡1的正交函数系。

如果〔a，b〕上的连续函数系 满足

（3）�

则称 是〔a，b〕上带权 的正交函数系。如果 为多项式系， 且 是最高项系数 的n次多项式，则称 为区间〔a，b〕上 带权 的正交多项式系，并称 是〔a，b〕上带权 的n次正交多项式。�

利用Gram-Schmidt 方法可以构造出〔a，b〕上的带权 的正交多项式系 如下：

（4）�

这样构造出的正交多项式系 具有以下性质：�

① 是最高项系数为1的n次多项式；�

② 任意n次多项式均可表示为前n+1个 的线性组合；�

③ 对于任意i≠j， ，并且 与任一次数小于n的多项式都正交；�

④ 在区间〔a，b〕 内有n个互异的实零点。�

首项系数为1的正交多项式系 有下面递推关系：�

(5)

其中�

(6)

二 常见的正交多项式系�

1. 勒让德多项式�

在区间〔-1，1〕上权函数为 ≡1的正交多项式

（7）�

称为勒让德(Legendre)正交多项式，显然 的首项 的系数 ，故�

表示首项系数为1的勒让德多项式。

�勒让德多项式 具有以下性质：�

① 正交性�

（8）�

② 递推关系�

（9）

�由 递推可得

③ 奇偶性

即：当n为奇数时， 为奇函数；当n为偶数时， 为偶函数。�

④ 在区间〔-1，1〕内有n个互异的实零点。�

2.切比雪夫多项式�在区间〔-1，1〕上权函数为 的正交多项式�

（10）

称为切比雪夫(Chebyshev)多项式。�

切比雪夫多项式具有以下性质：�

① 正交性

（11）�

② 递推关系�

（12）�

由 递推可得�

显然， 的首项系数 (n≥1)。�

③ 奇偶性 �当n为奇数时， 为奇函数；当n为偶数时， 为偶函数。即�
④ 在区间〔-1，1〕内有n个互异的实零点 。�

三 最佳平方逼近多项式�

定义3 设f(x)∈C〔a，b〕，若有一次数不超过n(n≤m)的多项式 ，使得

（1 3）�

称满足式（13）的 为f(x)在区间〔a，b〕上的n次最佳平方逼近多项式。该问题等价于求多元函数

的最小值。由多元函数求极值的必要条件，得�

即�

（14）�

式（14）是关于 的线 性方程组，用矩阵表示为

（15） �

式（14）或式（15）称为正规方程组或法方程组。

�可以 证明，方程组（15）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。从式（14）中解出 ，从而可得最佳平方逼近多项式

�若〔a，b〕=〔0， 1〕， ≡1，则

�方程组（15）的系数矩阵为

称为希尔伯特（Hierbert） 矩阵。以后，不特别声明，均取 ≡1。�

例1 求 在区间〔0，1〕上的二次最佳平方逼近多项式。�

解

得正规方程组�

解得 ，所以

�

用 作基，求最佳平方逼近多项式，当n 较大时，系数矩阵是病态矩阵， 求正规方程组的解，舍入误差会很大，这时选正交多项式为基，就可避免这种情况。

一般地，设

同式（14）的推导完全类似， 可得 应满足的正规方程组为

其中

�若取 ，则式（16）就是式（13）；若取 为区间〔a，b〕上的正交多项式，则式（16）的系数矩阵为对角矩阵，解为

（17） �

例4 求 在区间〔-1,1〕上的三次最佳平方逼近多项式。

解 在式（16）中，取勒让德多项式系中 为基，则�

� 得�

所以

�对于有限区间〔a，b〕，做变量替换

于是 在区间〔-1,1〕上可用勒让德多项式为基求得最佳平方逼近多项式 ，从而得到在区间〔a,b〕的最佳平方逼近多项式 ，这与用（15）求得的是一致的，但用前者计算公式比较方便，不存在病态问题。

Answer 2

建议你查阅《多项式最佳逼近的实现〔计算数学丛书〕》一书中第30页内容，作者：沈燮昌，上海科学技术出版社，1984．02，也许会对你的研究带来极大的帮助！
另外，问题的完整叙述和解答可以参看：
《数学分析中的问题和定理（波利亚、舍贵 著）》第二卷中的第105页，答案在339页。
只是可惜的是上述都是利用高等数学知识解决的，不符合你的要求。
凭我的直觉，这道题目应该存在初等证明方法，因为题目的叙述完全可以理解成是一个初等数学问题！本回答被提问者采纳

Answer 3

向大家请教 苦恼多年 的数学难题:

关于切比雪夫多项式的研究 .
你要问什么?问切比雪夫多项式的性质吗?�
"建议你查阅《多项式最佳逼近的实现〔计算数学丛书〕》一书中第30页内容，作者：沈燮昌，上海科学技术出版社，1984．02，也许会对你的研究带来极大的帮助！
另外，问题的完整叙述和解答可以参看：
《数学分析中的问题和定理（波利亚、舍贵 著）》第二卷中的第105页，答案在339页。
只是可惜的是上述都是利用高等数学知识解决的，不符合你的要求。
凭我的直觉，这道题目应该存在初等证明方法，因为题目的叙述完全可以理解成是一个初等数学问题！"

以上的回答者：jysyxh - 试用期 一级 5-15 22:39,答得好.

Answer 4

用初等数学证估计会很烦，试试复变函数中的Cauchy不等式估计导数，应为既然是多项式，那么就全纯，性质应该会比较好，你可以试试看

Answer 5

这象是高中的序列问题,挺难的.没代笔,改天试试.