跪求高数大神 抛物面z=x^2+y^2被平面x+y++z=1截成一个椭圆，求该椭圆的长半轴和短半轴（用拉格朗日乘子）

Question

如题所述

Answer 1

原点与该椭圆上点的距离的最大值为d2=√(9+5√3)，最小值为d1=√(9-5√3)。

解析：运用拉格朗日乘数法，记f(x，y，z)=x^2+y^2+z^2+a(x^2+y^2-z)+b(x+y+z-1)
令f'x=2x+2ax+b=0，f'y=2y+2ay+b=0，f'z=2z-a+b=0，x^2+y^2-z=0，x+y+z-1=0
解得x=y=(-1±√3)/2,z=2-＋√3，得d1=√(9-5√3)，d2=√(9+5√3)。

拉格朗日乘数法的特点：

种方法将一个有n 个变量与k 个约束条件的最优化问题转换为一个有n + k个变量的方程组的极值问题，其变量不受任何约束。

这种方法引入了一种新的标量未知数，即拉格朗日乘数：约束方程的梯度（gradient）的线性组合里每个向量的系数。此方法的证明牵涉到偏微分，全微分或链法，从而找到能让设出的隐函数的微分为零的未知数的值。

Answer 2

长半轴为√(3(2+√3))，短半轴是√(3(2-√3))，用拉格朗日乘数法做的。

^【解析】z=x^2+y^2

x+y+z=1

椭圆方程为(x+1/2)^2+(y+1/2)^2=3/2

z=1-x-y

原点到这椭圆上点的距离r=根号{x^2+y^2+z^2}

极值点坐标满足dr/dx=0

dr/dx=[2x+2y*dy/dx+2z*dz/dx]/2r

=x+y*dy/dx+(1-x-y)*(-1-dy/dx)

=(2x+y-1)+(x+2y-1)*dy/dx

对椭圆方程求导2*(x+1/2)+2*(y+1/2)*dy/dx=0

dy/dx=-(2x+1)/(2y+1)

dr/dx=(2x+y-1)-(x+2y-1)*(2x+1)/(2y+1)

=(2x+2y-3)*(y-x)/(2y+1)

dr/dx=0, => (2x+2y-3)*(y-x)=0

x=y=+(-)根号3/2-1/2 ; x+y=3/2>1（舍去）

r=根号{x^2+y^2+z^2}=根号{2x^2+4y^2}=根号{(11+(-)6*根号3)/2}

r(min)=根号{(11-6*根号3)/2}

r(max)=根号{(11+6*根号3)/2}

扩展资料：

令F(x,y,λ)对x和y和λ的一阶偏导数等于零，即

F'x=ƒ'x(x,y)+λφ'x(x,y)=0 [1] 

F'y=ƒ'y(x,y)+λφ'y(x,y)=0

F'λ=φ(x,y)=0

由上述方程组解出x,y及λ，如此求得的(x,y)，就是函数z=ƒ(x,y)在附加条件φ(x,y)=0下的可能极值点。

若这样的点只有一个，由实际问题可直接确定此即所求的点。

参考资料来源：百度百科-拉格朗日乘数法

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Answer 3

我做出来是长半轴为√(3(2+√3))，短半轴是√(3(2-√3))，用拉格朗日乘数法做的。如果你觉得答案靠谱就追问，我再把过程贴上去。追问

麻烦你写一下过程嘛！谢谢

追答

重做之后发现第一遍做错了，我把过程发给你。

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Answer 4

长半轴和短半轴相等，不是椭圆，而是圆。追问

额。。。要是那么简单的话，我们老师也不会设置为附加题了